Молекулярна фізика і термодинаміка

• Кількість речовини однорідного газу (в молях):

або

де N - число молекул газу; N_A - число Авогадро; m - маса газу; m -мольна маса газу.

• Рівняння Клапейрона-Менделєєва (рівняння стану ідеального газу):

,

де р - тиск газу, V - об'їм газу, m - маса газу; m - мольна маса газу, R - універсальна газова постійна, n = m /m - кількість речовини, T - термодинамічна температура Кельвіна.

• Експериментальні газові закони, що є окремими випадками рівняння Клапейрона-Менделєєва для ізопроцесів:

а) закон Бойля-Маріотта (ізотермічний процес T = const, m = const): pV = const

б) закон Гей-Люссака (ізобарний процес: р = const, m = const): V/T = const

в) закон Шарля (ізохорний процес: V = const, m = const): р/T = const.

Закон Дальтона, що визначає тиск суміші хімічно не взаємодіючих газів:

р = р ₁ +р ₂ +... +p_n

де p_i - парціальний тиск компонентів суміші, n - число компонентів суміші.

• Концентрація молекул (число молекул в одиниці об'єму):

,

де N - число молекул, що містяться в даній системі, r - густина речовини.

• Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів:

,

де < w_n > - середня кінетична енергія поступального руху молекули.

• Середня кінетична енергія поступального руху молекули:

,

де k - стала Больцмана.

• Середня повна кінетична енергія молекули:

,

де і - число ступенів свободи молекули.

• Залежність тиску газу від концентрації молекул і температури:

р = nkT.

• Швидкості молекул:

а) середня квадратична <v_кв>=

б) середня арифметична <v _а >

в) найбільш імовірна <v_ім> =

де m ₁ - маса однієї молекули.

• Питомі теплоємності газу при постійному об'ємі (с_v) і при постійному тиску (с_р):

, .

• Зв'язок між питомою (с) і мольній (С) теплоемкостями:

с = C /m.

• Рівняння Роберта Майєра:

Cp - Cv = R.

• Внутрішня енергія ідеального газу:

• Перший початок термодинаміки:

Q = Δ U + A,

де Q - теплота, передана системі (газу); Δ U - зміна внутрішньої енергії системи; А - робота, виконана системою проти зовнішніх сил.

• Робота розширення газу:

а) в загальному випадку:

б) при ізобарному процесі А = р (V ₂ - V ₁)

в) при ізотермічному процесі

г) при адіабатичному процесі

або ,

де γ = Cp/Cv - показник адіабати.

• Рівняння Пуассона, що зв'язує параметри ідеального газу при адіабатичному процесі: .

• Термічний к.к.д. циклу:

,

де Q ₁ - теплота, отримана тілом від нагрівача; Q ₂ - теплота, передана робочим тілом охолоджувачу.

• Термічний к.к.д. циклу Карно:

,

де Т ₁ і Т ₂ - термодинамічні температури нагрівача і охолоджувача.

РОЗДІЛ І. ФІЗИЧНІ ОСНОВИ МЕХАНІКИ

Тема 1. Кінематика поступального і обертального руху

Приклади рішення задач

Задача 1. Рівняння руху матеріальної точки уздовж осі х має вид х = A + Bt + Ct ², де A = 3 м, B = 2 м/с, C = -0,5 м/с². Знайти координату х, швидкість v, прискорення точки у момент часу t = 4 с.

Рішення

Координату х знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів, B, С і часу t:

х = (3 + 2 4 + (- 0,5) 42) = 3 м.

Миттєва швидкість є перша похідна від координати за часом:

v = dx/dt = B+2Ct.

У момент часу t = 4 с маємо v = 2+2 (-0,5) 4= -2м/с.

Прискорення точки знайдемо, узявши першу похідну від швидкості за часом:

a=dv/dt=2C.

У момент часу t = 4 с одержуємо a =2(-0,5)= -1 м/с².

Відповідь: х = 3 м, v = -2 м/с = -1 м/с² .

Задача 2. Тіло обертається навкруги нерухомої осі згідно із законом j = A+Bt+Ct ³, де A =5 рад, B =15 рад/с, C =1 рад/с³. Знайти повне прискорення точки, що знаходиться на відстані r = 0,2 м від осі обертання, для моменту часу t =2 с.

Рішення

Кутову швидкість тіла отримаємо, продиференціювавши залежність j(t) за часом:

ω = B + 3Ct ²

Лінійна швидкість точки, що знаходиться на відстані r від осі обертання, буде рівна:

v = ω r = (B + 3Ct ²) r.

Тангенціальне прискорення знайдемо, обчисливши похідну швидкості за часом:

a _τ = dv/dt = 6 Ct.

Нормальне (доцентрове) прискорення дорівнює:

a_n = v ²/ r = (B + 3Ct ²)² r.

Отримавши вирази для тангенціального і нормального прискорень, обчислимо повне прискорення:

а = ((a _τ )² + (a_n)²)^1/2 = r (36 C ² t ² + (B + 3 Ct ²)⁴ )^1/2.

Підставивши чисельні значення для t = 2 с, отримаємо a = 145,8 м/с² .

Відповідь: a = 145,8 м/с².

Задача 3. На схилі гори тіло кинуто вгору під кутом α до поверхні гори. Визначити дальність польоту тіла, якщо його початкова швидкість v ₀ і кут нахилу гори β. Опір повітря не ураховувати.

Рішення

Рух тіла можна представити як результат накладення двох прямолінійних рівноприскорених рухів: уздовж поверхні гори і перпендикулярно їй. Виберемо систему координат так, як показано на малюнку.

Будемо вважати, що рух тіла почався у момент часу t = 0. Запишемо початкові умови задачі: x₀=0, y₀=0, V_0x=V₀ cosα, V_0y=V₀ sinα. Для проекцій прискорення на осі х і у отримаємо:

a_x = - g sinβ, a_y = - g cosβ. Рівняння руху можна записати таким чином:

x = V ₀ t cosα - g sinβ t²/ 2,

y = V ₀ t sinα - g cosβ t²/ 2.

В точці падіння каменя на землю у = 0 і, отже, можна записати:

0 = V ₀ t sinα - g cosβ t ²/2

Визначивши з останнього рівняння час руху тіла до падіння і підставивши отриманий вираз в рівняння руху уздовж осі х, отримаємо для дальності польоту L вираз

Задача 4. Колесо обертається з постійним кутовим прискоренням ε = 2 рад/с². Через t = 0,5 c після початку руху повне прискорення колеса стало рівно a =13,6 см/с². Знайти радіус колеса R.

Рішення

Оскільки кутове прискорення постійно, а початкова кутова швидкість рівна нулю, кутову швидкість w залежно від часу можна обчислити таким чином: ω = ε t. Лінійна швидкість точок на краю колеса буде рівна:

v = ω R = ε Rt.

Повне прискорення точок на ободі колеса буде рівне:

a = ((dv/dt) ² + (v ² /R) ² ) ^1/2 = (( ε R) ² + ε⁴ R ² t ⁴ ) ^1/2 = R ε(1 + ε² t ⁴ ) ^1/2.

Звідки одержуємо:

R = a /(ε(1+ε² t ⁴)^1/2.

Підставляючи чисельні значення, знаходимо: R = 0,061 м.

Відповідь: R = 0,061м

Задача 5. Куля випущена з початковою швидкістю v ₀=200 м/с під кутом α = 60° до горизонту. Визначити максимальну висоту H_max підйому, дальність S польоту і радіус R кривизни траєкторії кулі в її щонайвищій точці. Опором повітря нехтувати.

Рішення

Виберемо систему координат так, як показано на малюнку. В будь-якій точці траєкторії на тіло буде діяти тільки сила тяжіння, спрямована вертикально вниз. Отже, вздовж осі x рух буде рівномірним, а вздовж осі y - рівноприскореним. Так як в початковий момент часу координати тіла дорівнюють нулю, то рівняння руху тіла можуть бути записаними у вигляді:

x = V_0xt, y = V_0yt - gt²/2,

де позначено V_x=V₀cosα і V_y=V₀sin α - проекції швидкості у момент часу t на осі х і у. Коли тіло досягне максимальної висоти, то V_y =0. Отже V₀sin α =g⋅t_max, звідки знаходимо час t_max, за який куля досягне верхньої точки: t_max=V₀sin α /g. У верхній точці у = H_max. Підставляючи в рівняння рухи уздовж осі у знайдене значення t_max, одержуємо:

В точці падіння кулі на землю у = 0. Підставляючи в рівняння рухи уздовж осі у значення у = 0 і скорочуючи на t, одержуємо:

де t_s – повний час руху кулі. Звідси знаходимо

Підставляючи знайдене значення в рівняння руху уздовж х, одержуємо:

Для визначення радіусу кривизни траєкторії в щонайвищій точці помітимо, що в кожній точці траєкторії повне прискорення дорівнює прискоренню сили тяжіння. У верхній точці траєкторії воно дорівнює доцентровому прискоренню, тобто:

звідки витікає, що

Підставляючи чисельні значення у вирази для R, S і H_max, отримаємо R = 1,02 км, S = 3,53 км, H_max = 1,53 км

Відповідь: H_max = 1,53 км, S =3,53 км, R =1,02 км

Дата добавления: 2015-05-26