Приклади рішення задач. Тема 8. Статистика ідеального газу

Тема 8. Статистика ідеального газу. Теплоємність.

Задача 1. Визначити середню кінетичну енергію w _п поступального руху і середнє значення w _i повної кінетичної енергії молекули водяного пару при температурі Т = 600 К. Знайти кінетичну енергію W поступального руху всіх молекул пару, що містить кількість речовини n = 1 кмоль.

Рішення

Середня кінетична енергія поступального руху молекули знаходиться по формулі:

де k - постійна Больцмана. Тоді w _п = 1,24×10^-20 Дж. Для середнього значення w_i повної енергії маємо w_i = (і /2) kT = 2,48×10^-20 Дж, де і = 6 - число ступенів свободи трьохатомної молекули водяного пару. В одному молі речовини міститься N_А молекул, отже в n молей буде n N_А молекул. Тоді кінетична енергія W поступального руху всіх молекул пару знаходиться як:

W = w _пn N_А = (3/2) kT n N_А = (3/2) RT n = 7,48 МДж.

Відповідь: w _п = 1,24 10^-20 Дж; w_i =2,48 10^-20 Дж; W = 7,48 МДж.

Задача 2. В скільки разів середня квадратична швидкість порошинки, зваженої в повітрі, менше середньої квадратичної швидкості молекул повітря? Маса порошинки m =10^{-8 г. Повітря вважати однорідним газом, маса одного} киломоля якого рівна m = 29 кг/кмоль.

Рішення

Використовуємо відомі вирази для середньої квадратичної швидкості частинки

або

Маса порошинки відома, тому її середня квадратична швидкість

Для повітря задана мольна маса, тому середня квадратична швидкість молекул повітря

З цих виразів знаходимо шукане відношення

Відповідь: v ₂/ v ₁ = 1,44×10⁷.

Задача 3. Чому рівні питомі теплоємності с_v і c_p деякого двоатомного газу, якщо густина цього газу за нормальних умов рівна r = 1,43 кг/м³?

Рішення

Питомі теплоємності пов'язані з мольними теплоемкостями формулами

Для мольних теплоемкостей справедливі вирази

З рівняння Клапейрона-Менделєєва

одержуємо вираз для тиску

де . За нормальних умов р = р ₀= 1,01×10⁵ Па, T = T ₀= 273 K. Тоді, для мольної маси м маємо

Остаточно, для теплоемкостей одержуємо вирази:

Відповідь: c_v = 646,8 Дж/(кг×К), c_p = 905,5 Дж/(кг×К).

Задача 4. При якому тиску р середня довжина вільного пробігу l _ср молекул азоту рівна 1 м, якщо температура газу Т = 300 К?

Рішення

Середня довжина вільного пробігу молекул газу

,

де d - ефективний діаметр молекул (для азоту d = 0,38 нм), n - концентрація молекул. Зв'язок між тиском газу, концентрацією і температурою визначається формулою р = nkT, де k - постійна Больцмана. З цих формул для шуканого тиску слід

р = 6,47 мПа.

Відповідь: р = 6,47 мПа.

Задача 5. Знайти середнє число зіткнень в 1 секунду молекул деякого газу, якщо середня довжина вільного пробігу за цих умов рівна 5×10^{-4 см, а середня квадратична швидкість його молекул рівна v} _кв = 500 м/с.

Рішення

Середнє число зіткнень, випробовуваних однією молекулою газу в одиницю часу дається виразом

Середня довжина вільного пробігу знаходиться по формулі

З цих двох виразів слід. що

Для отримання остаточної відповіді треба виразити v через v _кв, де середня арифметична швидкість записується як

Звідси знаходимо

Отже, одержуємо вираз для середнього числа зіткнень молекул газу в секунду

Відповідь: z = 9,2 107 с^-1.

Дата добавления: 2015-05-26