Лекция 3. Если в задаче n – r = 1, то результат имеет простейший вид:

Если в задаче n – r = 1, то результат имеет простейший вид:

,

Откуда следует, что .

Этот случай в гидромеханике рассмотрен Рейнольдсом. R_кр.min – переход от турбулентного к ламинарному течению

Можно привести еще несколько примеров подобного рода: на границе между реками и быстрыми потоками ; гидростатическое давление , и т.п.

Если в задаче задано n – r = 2, то ни П₁, ни П₂ не могут уже быть постоянными (один меняется в зависимости от другого). Представим себе, каким бы было графическое изображение результатов экспериментов по изучению сопротивления в трубах. Задача имеет 5 параметров. В упрощенном виде все сводится к одной кривой

на двухмерном графике.

Не следует забывать, что выбранные для двух групп переменные, не единственно возможные. Каждая группа может отличаться от другой одной переменной, следовательно, в рассмотренном примере могут существовать 5 групп, образованных из пяти переменных. В каждой группе может быть опущена одна из переменных:

Между этими пятью величинами возможно десять простых функциональных комбинаций (не считая комбинаций производных).

Каждое из этих соотношений в равной степени обосновано и не содержит иных параметров, чем другие. Однако, одно и более могут иметь особое значение. Например, числа Re,P и т.д.

Продолжая эти рассуждения далее, найдем, что при n - r = 3, три безразмерных комплекса будут представлять криволинейную поверхность в трехмерном пространстве. Можно конечно представить результат в виде серии плоских кривых, где один из комплексов фигурирует в виде параметра-

В заключении отметим, что, хотя применение самой π-теоремы является автоматическим и осуществляется уже после выбора переменных, успех последующего анализа целиком зависит от выбора этих переменных. Этой важной стороне вопроса нужно уделять особое внимание.

Порядок проведения исследований.

a) Выбор первичных переменных

Согласно уравнению (*) каждая переменная рассматривается как независимая от других. Однако, положение дел таково, что все переменные, кроме одной можно считать независимыми и контролировать их изменение. Эта одна переменная и является в действительности зависимой. Но это утверждение не бесспорно т.к. бывают случаи, когда все переменные независимы и искать межу ними функциональную связь бессмысленно. Пренебрежение относящейся к рассматриваемой задаче независимой переменной так же опасно, как и пропуск зависимой переменной т.к. уравнение (*) не делает между ними различия. Иногда бывает так, что некоторая величина в условиях опыта не является независимой переменной (например, ускорение силы тяжести), но это не дает основание ее не учитывать. Бывает важно знать относительное влияние на безразмерную группу.

Включение в исследование более одной зависимой переменной такая же серьезная ошибка, как и ее пропуск, т.к. это влечет за собой избыток безразмерных групп и результат становится опять бессмысленным.

С другой стороны, введение переменных, которые не имеют отношения к задаче, не является непоправимой ошибкой, т.к. (если они не являются составляющими каждого члена) они приведут к образованию безразмерных групп. Которые будут признаны излишними. Итак, при выборе переменных, мы оказываемся как бы между двух огней: при недостаточном числе переменных функция будет неполной; при избыточном числе переменных функция либо невозможна, либо непригодна для исследования. Первая опасность должна быть устранена до применения π-теоремы. Все переменные в механике относятся к одному их трех классов: те, которые определяют геометрия границ, те, которые определяют деформацию и те которые определяют физические свойства объекта. Геометрические переменные могут иметь форму длин, площадей, объемов или даже тригонометрических функций. Переменные, определяющие деформации, могут включать время, скорость, ускорение, интенсивность си и их градиенты, интегральные величины и моменты, а также количество движения и энергию. Физические переменные – это плотность, динамическая вязкость, поверхностное натяжение, упругость, пластичность и т.д. Обычно только два, самое большое три свойства играют существенную роль. Например, из геометрических переменных, вполне достаточно одной, чтобы определить линейный масштаб. Вообще следует добиваться упрощения, а не усложнения. Так, например, из трех независимых переменных длина, скорость, расход, лучшими будут длина и скорость, чем скорость и расход. Включение всех трех излишне, а принятие лишь одной будет неверным. Если должны приниматься во внимание другое переменные, например давление, то проще выразить все свойства, включая и гравитационные, в динамической задаче.

Выбор параметров

При выборе «m» переменных, которые встречаются в каждой из безразмерных групп, следует удовлетворять двум условиям: во-первых - повторяющиеся переменные должны включать все «m» размерных категорий и, во-вторых – они не должны сами по себе образовывать безразмерные группы.

Если первое требование не будет выполнено, то будет невозможно объединить эти переменные с теми. Которые содержат действительно недостающие размеры.

С другой стороны, если повторяющиеся переменные могут быть объединены между собой (например, скорость, плотность, и давление, которые дают число Эйлера ), то они не могут объединяться с другими переменными, не подходящими к ним по размерам. Какие из величин, удовлетворяющих данным требованиям, должны быть выбраны, зависит от ожидаемых результатов.

Обычно контроль за выбором π - членов идет по одному из двух направлений, или какая-нибудь переменная преднамеренно исключается из всех членов, кроме одного, или она включается в какой-нибудь член.

Так, например, плотность желательно иметь во всех группах а вязкость достаточно иметь в одном π – члене. Хотя прямое применение π – теоремы приводит к обязательно появлению одних и тех же переменных в каждом члене, но это не единственно возможное для них объединение. Если справедливо равенство , то будет справедливо и . Другими словами, различные π – члены, получаемые на основании теоремы, можно произвольно объединить друг с другом, непременно выполняя одно условие: количество независимых безразмерных групп после объединения не должно изменятся. Такое объединение часто приводит к тому, что переменные, общие для двух объединенных групп, будут взаимно уничтожаться(для этого и проводится объединение), в результате чего одна или более переменных исчезнут из данной группы.

Разнообразные комбинации переменных бывают очень удобными, но нельзя заранее предсказать, какую комбинацию следует предпочесть. Это обнаруживается я с помощью математического анализа и эксперимента. Полезно использовать предыдущий опыт исследования родственных проблем. Но в любом случае понятие размерности приближает нас к намеченной цели, даже если наилучшая группировка переменных заранее не установлена.

Дата добавления: 2015-05-26