Способы представления экспериментальных данных

Каждый из нас, независимо от того, осознает он это или нет, постоянно производит измерения. Определение времени, температуры, взвешивание и т.д. Обычно результаты этих измерений не имеют больших значений и быстро забываются. Но бывают измерения(диагноз врача, мерка портного, скорость самолета, поезда и т.п.), которые необходимо фиксировать надолго. Здесь точность измерений уже является предметом большой важности и часто приходится исследовать эти измерения для получения желаемого конечного результата. Бывает важно сохранить результаты этих измерений хотя бы временно и представить их в форме, удобной для использования и понятной для других.

Результаты обычно представляют в виде таблиц, графиков, уравнений.

Поэтому рассмотрим все эти способы представления данных, описывая правила надлежащего их использования и указывая приложения, для которых пригоден каждый из этих способов. По ходу изложения, будем отмечать преимущества и недостатки.

Представление данных с помощью таблиц

Обычно исходные данные сначала табулируются. Затем изображаются графически, иногда в заключении, представляются уравнениями. Поэтому начнем рассмотрение с методов и принципов представления данных с помощью таблиц.

Все измерения содержат, по крайней мере, 2 переменные, одна из которых предполагается независимой, а другая зависисмой. В простейших измерениях независимые переменные бывают неизвестные и задаются произвольно. В опытах интересуемся обеими переменными и пытаемся установить связь между ними. При представлении данных с помощью таблиц, зависимые и независимые переменные зависимость между ними, если таковая имеется, изображаются пересечением соответствующих значений или свойств переменных в определенном порядке. Существует много типов таблиц, например, программы телепередач, таблицы специальных функций и т.д. Рассмотрим общие преимущества таблиц, способы и описания основных правил построения таблиц, изображающих зависимость y=f(x), а также правила сглаживания данных.

1) Преимущества табличного способа

Таблица обладает следующими преимуществами:

a) Они просты и недороги, т.к. их построение не требует специальной бумаги, лекал и т.д.;

b) Позволяют легко обозреть все данные;

c) Облегчают сравнение различных значений;

d) Удобны для хранения данных, в том числе и в памяти ЭВМ.

В некоторых случаях таблицы имеют еще и специальные преимущества. Так. В таблице можно показать изменение нескольких зависимых величин, как и изменение одной величины. Четкое изображение на одном графике в этом случае весьма затруднительно. Обычно табличный способ предпочитают графическому в тех случаях, когда возможны различные способы упорядочения данных. И, наконец, если таблицы изображают зависимость y=f(x), то можно с требуемой точностью, дифференцировать и интегрировать функцию «f(x)» непосредственно с помощью таблиц, не зная математического выражения этой функции. Причем затрачивается при этом меньше времени и труда, чем при использовании графика.

2) Типы таблиц

Таблицы бывают трех основных типов:

a) Первая группа менее важная, это таблицы качественных признаков, т.е. таблицы, устанавливающие качественную зависимость. Такие таблицы встречаются редко, не смотря на то, что в них содержаться данные, которые можно хорошо представить каким-либо другим способом. Пример.

Параллели физических теорий

Теория света	Теория вещества
1. Корпускулярная теория. Корпускулы подчиняется законам механики Ньютона. 2. Фотоны подчиняются законам квантовой механики 3. Волновая теория. Теория рассматривает волны, порождающие явление интерференции дифракции. Стоячие волны возникающие при интерференции, соответствуют квантованию. О частицах нет речи	1. Корпускулярная теория. Частицы подчиняются законам механики Ньютона 2. Частицы подчиняются законам квантовой механики 3. Волновая теория. Квантование соответствует стоячим волнам. В абстрактных разновидностях этой теории нет речи о частицах.

b) Вторую группу составляют статистические таблицы. К этой группе относятся таблицы, в которых количественно выражаются лишь часть переменных, а остальные переменные не получают количественного выражения. Примерами таких таблиц может служить таблица элементов Менделеева.

c) Третью, основную группу, составляют таблицы функций, представляющих одну или несколько зависимостей типа y=f(x). Остановимся подробнее на третьем типе таблиц, таблицах функций.

Таблицы функций.

a) Каждая таблица значений функции должна иметь ясный, полный и в тоже время краткий заголовок. Каждый столбец должен иметь заголовок, указывающий название и единицу измерения протабулированных в нем величин. При выборе независимой переменной нужно стремиться к тому, чтобы эта переменная была наиболее простой (время, расстояние, температура и т.п.)

b) Выбор интервала значений «Х». При составлении для аргумента выбираются округленные или удобные по какой-либо другой причине значения. Они располагаются в порядке возрастания (убывания), так, чтобы каждое следующее отличалось от предыдущего на ΔХ-шаг таблицы. Обычно целые числа при необходимости ΔХ*10^±n, n-целое. Уменьшений ΔХ ведет к большей точности.

c) Сглаживание данных. Чтобы использовать таблицы наилучшим образом, значения «Y» должны быть сглажены, т.е. ход изменения «Y», соответствующий плавным изменениям «Х» должен быть также плавным. Если дана несглаженная таблица значений y=f(x), то значения для сглаженной таблицы получают:

1. из уравнения y=f(x), которому удовлетворяют имеющиеся данные;

2. из графика y=f(x), начерченного так, чтобы удовлетворить данным;

3. посредством какого-либо вычислительного метода:

4. по графику разностей элементов.

При сглаживании два метода предполагают наличие табулированных значений X и Y в правильно составленной, но не сглаженной таблице.

При сглаживании всегда нужно стремиться к тому, чтобы сохранить общий ход несглаженных данных и их приближенных величин. При применении двух первых способов, результаты зависят от того, какой себе представляет исследователь вид функции y=f(x). И может случиться, что сглаженная таблица будет хуже несглаженной. Если y=f(x) известна, то процесс сглаживания отпадает!

Графический метод сглаживания заключается в нанесении на график точек по имеющимся данным, проведение плавной кривой через эти точки и снятие сглаженных значений с намеченной кривой.

Существует много численных методов для сглаживания табличных данных. Наиболее часто применяется метод наименьших квадратов. Этот метод применятся при постоянном шаге Δх и основан на параболической аппроксимации функции y=f(x). Метод в основном приводит к удовлетворительным результатам. Но в случае, когда на протяжении четырех х-интервалов достаточно подходящего приближения к параболической зависимости, этим методом пользоваться нельзя!

Основное уравнение этого метода:

где у₁,у_-1,у₂,у_-2,у₀ – пять последовательных значений из несглаженной таблицы;

«а» - сглаженное значение «у₀», которым последнее должно быть заменено.

Если перенести (временно) начало координат в т.(0, у₀) и ввести а′, у_-2^′,…то полуим более простое уравнение:

в котором обычно малы. Полученное а′ будет поправкой к у₀ в первоначальной системе координат.

Графический метод может быть усовершенствован путем сглаживания разностей элементов.

Дата добавления: 2015-05-26