Понятие линейного пространства. Темы 7, 8. Линейные и евклидовы пространства

Темы 7, 8. Линейные и евклидовы пространства

Рязань 2012

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Направление 080100

«Экономика»

Очная форма обучения

Центральное место среди всех понятий линейной алгебры занимает понятие линейного пространства.

Определение 1.1. Непустое множество элементов (векторов) , …,над которыми определены операции сложения двух векторов (при всех : ) и умножения вектора на число (при всех , : ) так, что выполняются условия (аксиомы):

: при всех ;

: при всех ;

: существует вектор такой, что для каждого ;

: для каждого существует вектор такой, что ;

: для каждого ;

: для каждого , при всех ;

: для каждого , при всех ;

: при всех , для каждого ,

называется линейным пространством.

Согласно определению линейного пространства сумма определена для любых элементов из и всегда является элементом множества . При этом говорят, что множество замкнуто относительно операции сложения. Аналогично, согласно тому же определению, множество замкнуто относительно операции умножения его элементов на действительные числа.

Прокомментируем аксиомы линейного пространства. Условия , называются соответственно аксиомами коммутативности и ассоциативности относительно сложения векторов. Условие есть аксиома существования нулевого вектора в пространстве. Условие есть аксиома существования противоположного вектора для каждого вектора пространства. Условие означает, что число 1 есть нейтральный элемент относительно умножения его на вектор пространства. Условие означает ассоциативность умножения на число. Условия и означают, что умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам и векторам соответственно.

В определении линейного пространства важно не только то, из каких элементов состоит базовое множество , но и как введены операции над элементами этого множества. Одно и то же множество при одних операциях может быть линейным пространством, а при других – нет.

Сформулируем простейшие свойства линейного пространства, непосредственно следующие из аксиом линейного пространства.

1) Линейное пространство имеет только один нулевой вектор .

2) Каждый вектор линейного пространства имеет только один единственный противоположный. Противоположным к нулевому вектору является сам нулевой вектор.

3) Если есть противоположный к элементу линейного пространства, то вектор является противоположным к вектору , то есть

.

4) Произведение произвольного элемента линейного пространства на число 0 равно нулевому вектору:

5) Вектор , противоположный данному вектору , равен произведению вектора на число :

.

Дата добавления: 2015-05-29