Формулы расчета стандартной неопределенности

Вид функции и плотности вероятности	Способ применения	Стандартная неопределенность
Прямоугольное распределение
	– об измеряемой величине известно только, что ее значение наверняка лежит в определенной области и что каждое значение между границами этой области с одинаковой вероятностью может приниматься в расчет; – сертификат или другой документ дает пределы без определения уровня доверия (например, 25мл 0,05 мл); – оценка получена в форме максимальных значений ( а) с неизвестной формой распределения.

Продолжение табл. 2

Треугольное распределение
	– доступная информация относительно значений величины менее ограничена, чем для прямоугольного распределения. Значения возле среднего значения более вероятны, чем у границ; – оценка получена в форме максимальных значений диапазона ( а), описанного симметричным распределением вероятностей; – когда величина является суммой или разностью двух величин, распределение вероятностей значений которых описывается прямоугольным законом с одинаковыми диапазонами.
Нормальное распределение
	Оценка получена из повторных наблюдений случайно изменяющегося процесса.   Неопределенность дана в форме: – стандартного отклонения наблюдений; – относительного стандартного отклонения ; – коэффициента вариации СV% без установления вида распределения.   Неопределенность дается в форме 95%-го или другого интервала доверия без указания вида распределения.	(при Р = 0,95).

3. Анализ корреляций. Две входные величины могут быть независимы или связаны между собой (коррелированны). В концепции неопределенности имеется в виду корреляция «логическая», а не математическая. Например, может существовать значительная корреляция между двумя входными величинами, если при их определении используют один и тот же измерительный прибор, физический эталон или справочные данные, имеющие значительную стандартную неопределенность.

Мерой взаимной корреляции двух случайных величин является ковариация. Если две входные величины X_i и X_j являются коррелированными, т. е. зависимыми друг от друга, то при оценивании суммарной стандартной неопределенности должна учитываться их ковариация , которая оценивается по следующей формуле:

при , (5)

где – стандартные неопределенности;

– коэффициент корреляции.

Для расчета коэффициента корреляции используются согласованные пары измерений , :

. (6)

4. Расчет оценки выходной величины. Оценка выходной величины является результатом измерения. Эту оценку получают из уравнения связи, заменяя входные величины X_i их оценками x_i:

. (7)

5. Расчет стандартной неопределенности выходной величины. Стандартная неопределенность выходной величины представляет собой стандартное отклонение оценки выходной величины или результата измерения и характеризует разброс значений, которые могут быть с достаточным основанием приписаны измеряемой величине. Определяется суммированием стандартной неопределенности входных величин u(x_i) и является суммарной, или комбинированной стандартной неопределенностью, обозначаемой u_c(y).

Применяемый для суммирования метод в терминах концепции неопределенности называется законом распределения неопределенностей, или корнем из суммы квадратов.

В случае некоррелированных входных величин суммарная стандартная неопределенность рассчитывается по формуле:

, (8)

где – частная производная функции по аргументу ;

– стандартная неопределенность, оцененная по типу А или В.

В случае коррелированных входных величин:

, (9)

где определяется по формуле (49).

Частные производные называются коэффициентом чувствительности и показывают, как выходная величина изменяется с изменением значения входных оценок :

(10)

С учетом формулы преобразуются в следующие выражения:

– в случае некоррелированных входных величин

= , (11)

– в случае коррелированных входных величин

, (12)

где определяется по формуле (52).

Величина u_i(y) является вкладом в стандартную неопределенность, связанную с оценкой выходной величины, которая получается из стандартной неопределенности, связанной с оценкой входной величины , по следующей формуле:

(13)

Во многих случаях общие выражения для суммирования неопределенностей сокращаются до гораздо более простых формул.

Так, если функция модели f является суммой или разностью некоррелированных входных величин X_i, например ), то суммарная стандартная неопределенность u_c(y) определяется выражением:

(14)

Если функция модели является произведением или отношением некоррелированных входных величин X_i, то суммарная стандартная неопределенность u_c(y) определяется выражением:

, (15)

где – неопределенности параметров, выраженные в виде относительных стандартных отклонений.

6. Расчет расширенной неопределенности. Расширенная неопределенность U получают путем умножения стандартной неопределенности выходной величины u_c(y) на коэффициент охвата k.

(16)

При выборе значения коэффициента охвата следует учитывать:

– требуемый уровень достоверности;

– какую-либо информацию о предполагаемом распределении;

– информацию о количестве наблюдений, использованных для оценки случайных эффектов.

Коэффициент охвата при оценивании расширенной неопределенности выбирают в соответствии со следующими рекомендациями.

В случаях, когда измеряемой величине может приписываться нормальное распределение вероятностей, коэффициент охвата определяется как квантиль нормированного нормального распределения при уровне доверия (табл. 3).

Таблица 3

Значения коэффициента охвата k при уровне доверия Р

Уровень доверия , %	Коэффициент охвата,
68,27 95,45 99,73	1,645 1,960 2,576

Часто на практике принимают k =2 для интервала, имеющего уровень доверия Р = 95 % и k =3 для интервала, имеющего уровень доверия Р = 99 %.

Если все стандартные неопределенности, оцененные по типу А, определялись на основании ряда наблюдений, количество которых менее 10, то распределение вероятностей результата измерения описывается распределением Стьюдента (t -распределением) с эффективной степенью свободы ν_eff. В общем случае:

, (17)

где – квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степеней свободы ν_eff и уровнем доверия Р.

Эффективное число степеней свободы рассчитывается по формуле:

, (18)

где – число степеней свободы при определении оценки ой входной величины для оценивания неопределенностей по типу А ( – число результатов измерений);

для определения неопределенности по типу В.

Значения коэффициента охвата, который равен квантилю распределения Стьюдента можно найти в таблице 4.

Таблица 4

Коэффициенты охвата k для различных степеней свободы ν_eff

νeff
k95	13,97	4,53	3,31	2,87	2,65	2,52
k99	235,8	19,21	9,22	6,22	5,51	4,90
νeff
k95	2,43	2,37	2,28	2,13	2,05	2,00
k99	235,8	19,21	9,22	6,22	5,51	4,90

Когда вклад источника неопределенности входной величины, имеющей прямоугольное распределение, является доминирующим (в три и более раз, чем все остальные вместе взятые) равно: 1,65 при %; 1,71 при %.

6. Представление конечного результата измерений.

Если мерой неопределенности является суммарная стандартная неопределенность u_c(y), то результат может быть записан так: результат: y (единиц) при стандартной неопределенности u_c(y) (единиц).

Если мерой неопределенности является расширенная неопределенность U, то лучше всего указывать результат в виде: результат () (единиц).

Таким образом, при вычислении неопределенности измерений следует придерживаться последовательности, изложенной выше и представленной на рисунке 5.

Рис. 5. Последовательность вычисления неопределенности

Дата добавления: 2015-05-26