Ортогональное преобразование

Уже в аналитической геометрии на плоскости приходится встречаться с поворотом направленных отрезков, исходящих из начала прямоугольной системы, на один и тот же угол вокруг начала и с отражением, т. е. изменением направления всех таких отрезков. Характерной особенностью этих преобразований является то, что они оставляют неизменным длину направленного отрезка. Здесь мы рассмотрим более общее понятие, а именно ортогональное преобразование евклидова пространства.

Линейное преобразование евклидова пространства называется ортогональным, если оно не изменяет скалярный квадрат любого вектора : .

Теорема 1. Линейное преобразование евклидова пространства ортогонально тогда и только тогда, когда оно не изменяет скалярное произведение любой пары векторов , : .

Таким образом, ортогональное преобразование можно определить как такое линейное преобразование пространства , которое оставляет неизменным скалярное произведение .

Доказательство. Если линейное преобразование не изменяет скалярное произведение , то, полагая в равенстве вектор равным вектору , получаем: , т. е. − ортогональное преобразование.

Обратно, если − ортогональное преобразование, то

.

Но

,

так как , и

так как , и

.Следовательно,

,

откуда , т. е. преобразование не изменяет скалярное произведение .

Ортогональное преобразование можно определить иначе. А именно:

Теорема 2. Ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис евклидова пространства в ортонормированный базис. Обратно, линейное преобразование пространства , переводящее ортонормированный базис в ортонормированный базис, является ортогональным.

Доказательство. Пусть − ортонормированный базис , и преобразование ортогонально. Рассмотрим систему образов векторов базиса. Так как − ортонормированный базис, то в силу ортогональности

,

при .

Мы видим, что − ортонормированная (и тем самым линейно независимая) система векторов, т. е. ортонормированный базис.

Обратно, пусть − линейное преобразование пространства , для которого система образов векторов ортонормированного базиса также является ортонормированным базисом: , при , .

Возьмем произвольный вектор . Так как − ортонормированный базис, то . Образ вектора равен:

.

Отсюда в ортонормированном базисе

,

и мы видим, что ), т.е. − ортогональное преобразование.

Дата добавления: 2015-05-29