Ответ

Предел

Задача. Численность некоторой популяция х изменяется со временем t, причем эта зависимость задана аналитически. Как спрогнозировать числен­ность популяции в достаточно отдаленном будущем?

Задача 1. Размер популяции m(t) животных, начиная с момента времени t = 0 (время t выражено в годах), изменяется по закону: m(t) = 1500— . Что ожидает эту популяцию в будущем?

Задача 2. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции меняется по закону: Q(t) = 1000 + , где t выражается в часах. Описать, что произойдет с популяцией с течением времени.

Задача 3. Размер популяции животных m(t), начиная с момента времени t = 0 (в годах), изменяется по закону: m(t) = 1500 - . Исследовать функцию m(t), построить ее график и описать, что будет происходить с численностью популяции в дальнейшем.

Задача 4. Численность популяций х(t) (функция х(t) соответствует непрерывному росту популяции бактерий от начального размера x(0) до предельного размера) выражается функциями от t:

а) х(t) =100 + ; б) х(t)=90+10t ; в) х(t) = 10 + 100е ;

г) х(t) = 10е ; д(t) = 10е .

В каждом случае найдите предельные размеры популяций и начальную популяцию x(0).

Задача 5. Популяция бактерий увеличивается от начального размера
до размера p(t) в момент t (дни) согласно уравнению p(t) = .

Найдите p(t) — равновесную популяцию.

Задача 6. При вливании глюкозы ее содержание в крови больного
спустя t составляет c(t)= 10 — 8е . Найдите с(t) = 0- равновесное состояние содержания глюкозы в крови.

Задача 7. С момента начала лечения (вливания глюкозы в кровеносную систему) количество глюкозы в крови m(t) (в мг) изменяется по закону: m(t) = 100 + 50е , где t — время (в ч). Построить график зависимости и проанализировать ее.

Задача 8. Пусть функция у = f(t) отражает зависимость числа жителей поселка у от временного показателя t. Объясните смысл записи f(t) = 0.

Задача 9. Ток в электрической цепи изменяется в зависимости от времени по закону I(t) = .

Найти величину тока в переходном процессе (в момент включения / вы­ключения), то есть при t 0.

Задача 10. Падение напряжения на концах некоторого внешнего сопротивления R, подключенного к источнику Э.Д.С., согласно закону Ома, равно

U = ,

где r – внутреннее сопротивление источника Э.Д.С.; Е – величина Э.Д.С. источника тока.

Рассмотреть выражение закона Ома как функцию f (R), найти её предел при R и сделать вывод.

Задача 11. Катет а прямоугольного треугольника разделен на n равных частей, и на получив­шихся отрезках построены вписанные прямо­угольники (рис. 8). Определить предел площади образовавшейся ступенчатой фигуры, если n .

Задача 12. Некоторый химический процесс протекает так, что прирост количества вещества за каждый промежуток времени из беско­нечной последовательности промежутков (i , (i+1) ) (i = 0, 1,2,...) пропорционален наличному количеству вещества, имеющемуся в начале этого промежутка, и величине промежутка. Предполагая, что в начальный момент времени количество вещества составляло Q , определить количество вещества Q через промежуток вре­мени t, если прирост количества вещества происходит каждую n-ю часть промежутка времени = t/n.

Найти Q = .

Задача 13. Круглая пластина радиусом а с закрепленными краями находится под действием силы Р, приложенной к ее центру. Прогиб на расстоянии х от центра пластины выражается следующей формулой:

y = Pkx + P (a - x )

где k — коэффициент, связанный с прочностными ха­рактеристиками материала и формой пластины. Найти прогиб в центре пластины.

(Ответ: Р k a /2.)

Задача 14. Шарнирно-опорная балка под действием равномерно распределенной нагрузки q и сжимающей силы N прогибается. Прогиб в середине балки вычисляется по формуле

f =

где u = ; EI — жесткость балки; — длина балки.

Показать, что: а) при u 0 (El ) балка не должна прогибаться, т. е. f 0; б) при u (N ЕI / ) f , т. е. существует критическая сила, при которой балка «разрушается», что математически соответствует ее беско­нечному прогибу.

Задача 15. Динамическая самоиндукция антенны при удлинении волны выражается формулой L = L ,

где L — динамическая самоиндукция; L — статическая самоиндукция; — действующая длина антенны; — длина волны антенны. Найти .

Ответ. L /2.

Задача 16. В теории ламповых генераторов доказывается, что коэффициент полезного действия генератора выражается через угол отсечки тока формулой = , где — коэффициент использования напряжений. Найти .

Задача 17. Расчет рабочих колес турбины приводит к уравнению

n у = —k x + n уа, где у — толщина колеса на расстоянии х от оси вращения; у = у при х = 0.

Найти .

Дата добавления: 2015-06-04