Искусство моделирования

ВВЕДЕНИЕ. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПРЕАЦИЙ КАК НАУКА И ИСКУССТВО.

В исследовании операций главная роль отводится математическому моделированию. Для построения мат. модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых переменных. Как цель, так и ограничения должны быть представлены в виде функций от управляемых переменных. Анализ модели должен привести к определению наилучшего управляющего воздействия на объект управления при выполнении всех установленных ограничений.

Сложность реальных систем может сильно затруднить представление цели и ограничений в аналитическом виде. Поэтому, очень важно уменьшить «размерность» решаемой задачи таким образом, чтобы обеспечить возможность построения подходящей модели. Несмотря на слишком большое число переменных и ограничений, которые на первый взгляд необходимо учитывать при анализе реальных ситуаций, лишь небольшая их часть оказывается существенной для описания поведения исследуемых систем. Поэтому при упрощенном описании реальных систем, на основе которого будет строиться та или иная модель, прежде всего следует идентифицировать доминирующие переменные, параметры и ограничения.

Рис.1

На рис.1 схематически изображены уровни абстракции, соответствующие переходу от системы – оригинала к ее модели. Упрощенный образ реальной системы отличается от системы – оригинала тем. Что в нем находят отражение только доминирующие факторы (переменные, ограничения и параметры), определяющие основную линию поведения реальной системы.

Модель, будучи дальнейшим упрощением образа системы- - оригинала, представляет собой наиболее существенные для описания системы соотношения в виде целевой функции и совокупности ограничений. Поясним на примере различные уровни абстрагирования.

Пример: Процесс создания конечного продукта материального производства обычно состоит из нескольких этапов, которые можно представить в определенной хронологической последовательности – от замысла проектировщика (конструктора) до поставки потребителю. После утверждения соответствующей проектно – технологической документации в производственный отдел предприятия направляется наряд – заказ на изготовление данной продукции. В свою очередь производственный отдел направляет в отдел материально – технического снабжения (ОМТС) заявки на необходимое сырье и материалы. ОМТС либо удовлетворяет эти требования поставками нужного сырья и материалов со складов, либо ставит перед отделом закупок вопрос об организации снабжения нужными материалами со стороны. После того как продукция изготовлена, отдел сбыта реализует функции, связанные со сбытом и доставкой готовой продукции потребителям.

Предположим, что задача исследования состоит в определении «наиболее выгодного» для предприятия – изготовителя объема производства данной продукции. Рассматривая исследуемую производственную систему как единое целое, легко убедиться в том, что на объем производства может влиять большое число факторов. Приведем несколько примеров таких факторов, группируя их по соответствующим подразделениям предприятия.

1. Производственный отдел. Возможное время загрузки оборудования, последовательность технологических операций, выполняемых на оборудовании, объем незавершенного производства, количество бракованных изделий и производительность службы технического контроля.

2. Отдел материально – технического снабжения. Имеющиеся запасы сырья и материалов, ограничения запасов готовой продукции на складах.

3. Отдел сбыта. Прогноз объемов реализации продукции, активность рекламной деятельности, возможности организационно – технической базы сбыта продукции, влияние конкурентноспособности.

Очевидно, что учет всех этих факторов в модели, предназначенной для определения оптимального объема производства, связан с очень большими трудностями. В этом случае пришлось бы, например, оперировать такими переменными, как распределение времени использования оборудования и рабочей силы, производительность службы технического контроля, а в качестве ограничений использовать данные, характеризующие мощность оборудования, фонд рабочего времени, предельно допустимый объем незавершенного производства, а также ограничения, связанные со сбытом продукции и хранением готовой продукции на складах. Уже перечисление этих факторов показывает, насколько сложны соотношения, которые пришлось бы использовать для того, чтобы выразить объем производства в виде функции от такого количества переменных.

Для формирования упрощенного абстрактного образа системы – оригинала следует рассматривать систему как единый объект, а не заниматься с самого начала частными деталями анализируемой проблемы. По существу, систему как единое целое можно рассматривать в общем плане с точек зрения изготовителя и потребителя. В первом случае систему можно характеризовать ее производительность, а во втором – объемом реализации продукции.

Естественно, что производительность системы зависит от таких факторов, как располагаемое время использования рабочей силы и оборудования, последовательность технологических операций, наличие сырья. Аналогично объем реализации продукции определяется ограничениями, присущими системе распределения готовой продукции, и прогнозом сбыта. По существу, упрощения, осуществляемые при переходе от системы – оригинала к ее упрощенному образу, достигаются за счет «объединения» нескольких первичных факторов в один фактор.

Лекция 2:

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Наиболее важным типом моделей ИО являются математические модели. В основе их построения лежит допущение о том, что все релевантные переменные, параметры и ограничения, а также целевая функция количественно измеримы. Поэтому если x_j, j=1,2,..., n, представляют собой n управляемых переменных и условия функционирования исследуемой системы характеризуются m ограничениями, то математическая модель может быть записана в следующем виде:

найти оптимум z = f (x₁,... x_n) (целевая функция)

при

g_i (x₁,..., x_n)£b_i, i = 1,2,..., m,

x₁, x₂,..., x_n³ 0 (ограничения)

Ограничения x₁, x₂,..., x_n³ 0 называются условиями неотрицательности. Эти условия требуют, чтобы переменные принимали только положительное или нулевое значение. В большинстве практических случаев такое требование вполне естественно. Нахождение оптимума осуществляется для определения наилучшего значения целевой функции, например максимума прибыли или минимума затрат.

Кроме математических моделей в ИО используются также имитационные и эвристические модели. Имитационные модели «воспроизводят» поведение системы на протяжении некоторого промежутка времени. Это достигается путем идентификации ряда событий, распределение которых во времени дает важную информацию о поведении системы. После того, как такие события определены, требуемые характеристики системы необходимо регистрировать только в моменты реализации этих событий. Информация об операционных характеристиках системы накапливается в виде статических данных таких наблюдений. Эта информация обновляется всякий раз при наступлении каждого из интересующих исследователя событий.

Так как для построения имитационных моделей не требуется использование математических функций, явным образом связывающих те или иные переменные, эти модели, как правило, позволяют имитировать поведение очень сложных систем, для которых построение математических моделей и получение решений невозможно. Более того, гибкость, присущая имитационным моделям, позволяет добиться более точного представления системы. Основной недостаток имитационного моделирования заключается в том, что его реализация эквивалента проведению множества экспериментов, а это неизбежно обусловливает наличие экспериментальных ошибок.

При имитационном моделировании обычно возникают большие трудности, связанные с разработкой эксперимента (статистический аспект), накоплением результатов наблюдений и необходимой проверкой статистических выводов. Имитационное моделирование не является столь же удобным инструментом исследования, как математические модели, позволяющие получить решение поставленной задачи в общем виде. Кроме того, сам процесс оптимизации с помощью имитационного моделирования, как правило, также вызывает затруднения.

Хотя математические модели ИО направлены на отыскание наилучшего (оптимального) решения, соответствующие математические построения иногда оказываются настолько сложными, что точное решение сформулированной задачи найти нельзя. Даже если возможность получения оптимального решения теоретически доказана, необходимые для этого вычисления могут оказаться громоздкими, а требуемые затраты времени – слишком большими. В таких случаях для получения рационального (приближенного) решения могут использоваться эвристические методы, базирующиеся на интуитивно или эмпирически выбираемых правилах, которые позволяют исследователю улучшить уже имеющееся решение. По существу, эвристические методы представляют собой процедуры поиска разумного перехода от одной точки пространства решений к некоторой другой точке с целью улучшения текущего значения целевой функции модели. Когда дальнейшего приближения к оптимуму добиться невозможно, лучшее из полученных решений принимается в качестве приближенного решения оптимизационной задачи.

Лекция 3:

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ КАК ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ

Рассмотрим построение математической модели и решение оптимизационной задачи ЛП.

Небольшая фабрика изготовляет два вида красок: для внутренних (I) и наружных (Е) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта – А и В. максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8т соответственно. Расходы А и В на 1т соответствующих красок приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов (в тоннах) на тонну краски	Максимально возможный запас, т
Краска Е	Краска I
А
В

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2т в сутки.

Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 у.е. для краски Е, 2 у.е. для краски I.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Дата добавления: 2015-06-04