Законы распределения аддитивных функций двух СВ

Закон распределения суммы двух случайных величин

а б

Рис. 10.13. Область интегрирования для суммы СВ

Закон распределения СВ Y = X ₁ + X ₂ получается интегрированием совместной плотности f (x ₁, x ₂) по области D (y) = { x ₁, x ₂ : x ₂ < y – x ₁}, которую в каждом конкретном случае нужно согласовывать с областью возможных значений случайных слагаемых. На рис. 10.13 а показаны области интегрирования для неограниченных x ₁, x ₂. В этом случае

(10.6) (10.7)

Если интервалы возможных значений слагаемых ограничены, соответственно ограничена и область интегрирования D_y (рис. 10.13 б). В частности, область интегрирования положительных слагаемых представляет собой треугольник = { x ₁, x ₂ : x ₂ < y – x ₁, x ₁>0, x ₂ >0}, а в формуле (10.7) бесконечные пределы интегрирования следует заменить на [0, y ]:

(10.8)

Законы распределения разности двух СВ

Закон распределения разности Y = X ₁ – X ₂ совпадает с законом распределения суммы Y = X ₁ + (– X ₂)системы (X ₁, – X ₂). Для плотности распределения разности неограниченных СВ можно применить формулу (10.7):

(10.9)

Композиция законов распределения

Закон распределения суммы независимых СВ называется композицией законов распределения. Для композиции используется специальное обозначение g = f ₁ ° f ₂. Совместную плотность в формулах (10.7), (10.8) можно заменить произведением частных законов:

(10.10)

Некоторые законы распределения обладают свойством устойчивости по отношению к композиции, т.е. композиция двух и более СВ с одним из таких законов распределения, подчиняется тому же закону.

Дата добавления: 2015-06-25