Таким образом, относительное приращение давления пропорционально относительному приращению плотности

Теоретически амплитуда колебаний (например, звукового давления) должна быть бесконечно малой, практически это означает малость амплитуды до такой степени, чтобы в условиях эксперимента можно было пренебречь нелинейными искажениями профиля звуковой волны в процессе ее распространения, а также эффектами, способными повлиять на структуру исследуемого вещества (ультразвуковая кавитация, деструкция молекулярных цепей).

Волновое уравнение для газов

В твердых телах могут распространяться как продольные, так и сдвиговые (поперечные) волны, поскольку твердые тела обладают конечной упругостью, как при всестороннем сжатии, так и при сдвиговом напряжении.

В качестве постоянных коэффициентов в уравнение входят плотность и эффективный модуль упругости среды. Эти параметры определяют величину скорости распространения волны.

Математическим выражением, описывающим распространение волн, является волновое уравнение, представляющее собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных по времени и координате.

Волновые уравнения

Существенным преимуществом ультразвукового диапазона (частота свыше 20 кГц) является малость длины волны и обусловленный этим обстоятельством прямолинейный характер распространения ультразвуковых волн. Однако в рассматриваемых нами случаях подразумевается, что длина волны значительно больше средней длины свободного пробега молекул газа и межатомных расстояний в жидкостях, так как в противном случае применение уравнений, выведенных для “сплошной среды”, совершенно не допустимо.

Будем исходить из основных уравнений механики сплошных сред (МСС) для жидкостей и газов

,

где - скорость движения среды;

- ее плотность;

t – время.

Уравнение неразрывности выражает положение о том, что разность количества жидкости (или газа), втекающий в данный промежуток времени в некоторый малый объем и вытекающей из него, равна приращению количества жидкости внутри данного объема

,

где p – давление;

и - сдвиговая и объемная вязкости жидкости (или газа).

Уравнение движения (уравнение Навье-Стокса) представляет 2-й закон Ньютона применительно к элементарному объему сплошной среды.

Отметим, что использованные в уравнениях математические операторы в развернутом представлении имеют вид

;

.

К числу важнейших в МСС уравнений относится уравнение состояния, выражающее зависимость давления в веществе от его плотности

.

Для идеальных газов уравнением состояния является уравнение Менделеева – Клапейрона, а для адиабатического процесса уравнение адиабаты (уравнение Пуассона).

Уравнения в приближении линейной акустики (акустики малых амплитуд) для идеальной (не вязкой) среды принимает вид

;

;

.

Уравнение состояния для газов в случае адиабатного процесса имеет вид

,

где - объем газа;

- коэффициент Пуассона.

Поскольку , то можно записать

.

В звуковой волне невозмущенные значения давления и плотности получают малые приращения и .

,

откуда

.

Для плоской ультразвуковой волны, распространяющейся вдоль оси Х, все колебательные параметры зависят от одной координаты x, что позволяет упростить систему уравнений:

;

;

.

В системе 3-х уравнений задействованы три колебательных параметра , и . Воспользовавшись этой системой уравнений можно получить одно уравнение для колебательной скорости .

С этой целью возьмем производную по x:

;

.

Из уравнения следует

.

Подставляя выражение получим

.

Умножим уравнение на . В силу равенства правых частей полученных уравнений находим

.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка в частных производных является волновым уравнением для плоской волны колебательной скорости , распространяющейся вдоль оси Х.

Постоянный множитель перед представляет собой квадрат скорости распространения волны – c², т.е.

.

Для воздуха при нормальных условиях = 10⁵ Па; = 1,29 кг/м³; = 1,4 (как для двухатомного газа) находим: c = 329 м/c, что соответствует опытным данным.

ЗАДАЧА:

21. Вывести формулу для коэффициента упругости газовой полости k_g, если изолируемая камера является частью цилиндрической трубки высотой h₀:

, (7.3)

где p₀ – давление газа в полости; d – диаметр трубки; γ – отношение теплоемкостей.

Рассчитать частоту возвратно-поступательных колебаний столбика магнитной жидкости в трубке высотой 10 см, удерживаемого над полостью силами магнитной левитации. Пусть γ =1,4, d =1,5 см, p₀ =10⁵ Па, h₀ =10 мм.

Дата добавления: 2015-06-25