Метод наименьших квадратов

Аппроксимацию методом наименьших квадратов выполним, используя программу Mathcad. Для аппроксимации выберем линию вида (3.3), то есть экспоненциальную кривую. Методом наименьших квадратов определим коэффициенты С₀, С₁, С₂. Для полученной аппроксимирующей зависимости построим производную в точке начала переходного процесса и определим постоянную времени измерительного преобраователя.

Порядок решения задачи приведен на рис.3.3.

На рисунке матрица M2 содержит в 1-й строке моменты времени в порядке возрастания, во второй строке – значения температуры в указанные моменты времени. Источник данных для матрицы – таблица экспериментальных данных.

Для удобства работы с элементами матрицы М2 матрицу транспонируем.

Создаем вектор q начальных значений аппроксимирующих коэффициентов С₀, С₁, С₂.

Рис.3.3. Решение задачи аппроксимации в Mathcad.

Выполняем функцию expfit(), определяющую коэффициенты аппроксимации по методу наименьших квадратов для экспоненциальной функции вида (3.3). Функция имеет три аргумента: 1-й – вектор независимой переменной (в нашем случае – вектор моментов времени); 2-й – вектор зависимой величины (температуры); 3-й – вектор начальных значений коэффициентов аппроксимации. Функция реализует итерационную процедуру поиска коэффициентов аппроксимации, поэтому требует задания вектора начальных значений коэффициентов. Чем ближе заданы начальные значения к вычисляемым, тем быстрее работает функция. Если начальные значения заданы неудачно, то функция может не найти решения. Результат работы функции expfit() – вектор коэффициентов аппроксимации, его запишем в вектор D.

Создаем функцию te(τ) – аппроксимирующую функцию переходного процесса измерительного преобразователя.

По значению коэффициента аппроксимации D₁ находим значение постоянной времени ke.

Создаем выражение для функции te1(τ) – 1-й производной от функции te(τ).

Создаем функцию ye(τ) – уравнение касательной прямой к функции te(τ) в точке начала переходного процесса.

Подставляя в функцию ye(τ) аргумент – постоянную времени ke, получаем значение температуры входного воздействия. Это же значение должен иметь коэффициент аппроксимации D₂.

Создаем функцию ye1(τ) - уравнение касательной прямой к функции te(τ) в точке с абсциссой, равной значению постоянной времени ke. Эта прямая пересечет горизонталь входного воздействия (линия y= D₂) в точке с абсциссой, равной двум ke.

Задаемся значениями переменной τ1 (дискретным аргументом – временем) и строим графики переходного процесса и касательных прямых ye(τ) и ye1(τ) (см. рис.3.4).

М2 – экспериментальные точки; te(τ1) – аппроксимирующая переходный процесс экспоненциальная кривая; ye(τ1) – касательная в точке начала переходного процесса; ye1(τ1) – касательная в точке в момент времени ke.

Рис.3.4. График переходного процесса нагрева ИП.

Как следует из полученного решения, постоянная времени переходного процесса для имеющихся экспериментальных данных равна 9,297с.

Аналогично получаем значение постоянной времени для процесса охлаждения измерительного преобразователя.

Дата добавления: 2015-06-25