Макроэкономические цели

Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

Сферическая система координат.

Цилиндрическая система координат.

z

P

z

q x

r

y

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

Итого:

z

P

r

j

0 q x

y

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

Окончательно получаем:

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

y

y = j(x)

S

y = f(x)

a b x

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 4x + 4;

x + y – 2 = 0.

Построим графики заданных функций:

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

2) Вычисление площадей в полярных координатах.

3) Вычисление объемов тел.

Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),

а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид.

z

z = f(x, y)

x₁ y₁ x₂

x

y₂

y

V =

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x² + y² = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Пределы интегрирования: по оси ОХ:

по оси ОY: x₁ = -1; x₂ = 1;

4) Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = j(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.

Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:

- относительно оси Ох:

- относительно оси Оу:

- относительно начала координат: - этот момент инерции называют еще полярным моментом инерции.

6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx – масса элемента площади).

7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:

при этом z₁ и z₂ – функции от х и у или постоянные, у₁ и у₂ – функции от х или постоянные, х₁ и х₂ – постоянные.

8) Координаты центра тяжести тела.

9) Моменты инерции тела относительно осей координат.

10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.

11) Момент инерции тела относительно начала координат.

В приведенных выше формулах п.п. 8 – 11 r – область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема

- в декартовых координатах: dv = dxdydz;

- в циллиндрических координатах: dv = rdzdjdq;

- в сферических координатах: dv = r²sinjdrdjdq.

12) Вычисление массы неоднородного тела.

Теперь плотность w – величина переменная.

В любом обществе, в том числе и российском, существуют десятки острейших проблем, из-за которых власти периодически оказываются поставленными в условия, когда многие задачи надо решать одновременно. Однако в чисто экономическом плане есть несколько проблем, доставляющих во все времена наибольшую головную боль членам кабинета министров. Обычно государство нацелено на выбор оптимального баланса серии основных макроэкономических целей.

1. Высокие темпы экономического роста и обусловленные ими темпы повышения благосостояния населения. Экономический рост, характеризующийся темпами прироста валового продукта, обеспечивает разрешение и воспроизводство на новом уровне основного противоречия экономики — между ограниченностью производственных ресурсов и безграничностью общественных потребностей.

2. Стабильный общий уровень цен. При этом речь идет о стабильности не директивно закрепленных, а именно рыночных цен, свободно устанавливаемых на основе взаимодействия спроса и предложения. Цель государства — избегать значительного увеличения или снижения общего уровня цен, т.е. инфляции и дефляции.

3. Полная занятость имеющихся производственных ресурсов — как материальных, так и трудовых. Особое значение для правительства имеет ликвидация вынужденной безработицы. Впрочем, ситуация сверхзанятости тоже небезупречна, поскольку провоцирует ускорение инфляционных процессов.

4. Экономическая свобода для управляющих предприятиями, наемных работников и потребителей — широта экономического поведения, которая обеспечивает реализацию принципа свободы предпринимательства. Эта свобода включает в себя две главные составляющие: защищенное законом право частной собственности и самостоятельность при принятии решений.

5. Справедливое распределение доходов: никто не должен пребывать в крайней нищете, в то время как другие живут в роскоши. Конечно, неравенство в доходах неустранимо, будучи детерминированным существенно различающимися способностями людей, уровнем их образования, располагаемой ими собственностью, действием многообразной комбинации региональных, отраслевых, половозрастных факторов, динамикой безработицы, размером и структурой семей и др. Однако дифференциация доходов населения (по линии «олигархи–бедняки») не должна быть чрезмерной. Поэтому государство призвано обеспечивать социальную защищенность, гарантировать поддержку инвалидов, престарелых, беженцев, многодетных семей и дру­гих социально уязвимых категорий граждан от неизбежных рисков, связанных с утратой здоровья, работы, жилья, с последствиями несчастных случаев.

6. Экономическая эффективность, характеризуемая отношением­ объема произведенных товаров и услуг к объему использованных при их создании ограниченных производственных ресурсов. Ее важней­шими показателями на макроуровне являются уровень производительности труда, фондоотдачи, материалоотдачи, а также трудноизмеримое качество выпуска­емой в стране продукции. При увеличении этих показателей (или уменьшении трудо-, фондо- и материалоемкости как обратных показателей эффективности) экономический рост становится интенсивным. В таком случае он может достигаться и при неизменности (и даже сокращении) объема вовлекаемых в производственный процесс ресурсов. Но если экономическая эффективность неизменна (как это было, например, в 1980-е гг. в СССР), то страна может рассчитывать в лучшем случае лишь на экстенсивный рост, да и то при условии наличия у нее незадействованных факторов производства. Наконец, сокращение эффективности производства в 1990-е гг. обрекало российскую экономику на кризисное сокращение национального продукта.

Дата добавления: 2015-06-25