Введение. Эту треугольную таблицу называют треугольником Паскаля, по имени французского математика Блеза Паскаля (1623 — 1662)

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

и т.д.

Эту треугольную таблицу называют треугольником Паскаля, по имени французского математика Блеза Паскаля (1623 — 1662), в трудах которого она встречается. Это название исторически неточно, так как такую таблицу знал уже арабский математик Омар Хайям, живший в XIII в.

Пример 2: Сколькими способами можно выбрать делегацию в 5 человек из группы, содержащей 12 человек?

Решение: Поскольку порядок выбора членов делегации роли не играет, то нам надо узнать, сколько можно выбрать 5-подмножеств из 12-множества. Это число таково:

Задания для практических занятий и самостоятельного решения.

31. Сколько хорд можно провести через 6 точек, лежащих на одной окружности?

32. Сколькими способами можно выбрать из 20 студентов группы трех представителей в студенческий совет факультета?

33. Сколькими способами можно выбрать три краски из пяти различных красок?

34. Рота состоит из трех офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 20 рядовых?

35. На институтском вечере присутствуют 11 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 5 пар для танца?

36. Пользуясь треугольником Паскаля найти коэффициенты при степенях при возведении в степень , если: ; ; ; .

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками, агроному – разместить посевы сельскохозяйственных культур на нескольких полях, заведующему учебной частью школы – составить расписание уроков, ученому-химику – рассмотреть возможные связи между атомами и молекулами, лингвисту – учесть различные варианты значений букв незнакомого языка и т.д. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторика как наука возникла в XVI веке. В жизни тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи. Понятно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр – вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр явились движущейся силой в развитии комбинаторики и развивавшейся одновременно с ней теории вероятностей.

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Н. Тарталья. Он составил таблицу, показывающую, сколькими способами могут выпасть r костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами (например, 1 + 3 + 4 = 4 + 2 + 2).

Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Б. Паскаль и П. Ферма. Исходным пунктом их исследований тоже были проблемы азартных игр. Особенно большую роль сыграла здесь задача о разделе ставки, которую предложил Паскалю его друг шевалье де Мере, страстный игрок. Проблема состояла в следующем: «матч» в орлянку ведется до шести выигранных партий; он был прерван, когда один игрок выиграл 5 партий, а второй – 4; как разделить ставку? Было ясно, что раздел в отношении 5:4 несправедлив. Применив методы комбинаторики, Паскаль решил задачу в общем случае, когда одному игроку остается до выигрыша r партий, а второму s партий. Другое решение дал Ферма.

Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница и Л. Эйлера. Однако и у них основную роль играли приложения к различным играм (лото, солитер и др.). За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются при решении транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний; для составления планов производства и и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики и т.д. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров и для решения других проблем теории информации.

Дата добавления: 2015-06-25