Демонстрационные примеры. Вопросы для теоретической подготовки

Вопросы для теоретической подготовки

Вероятностей

Тема 3. Теоремы сложения и умножения

Ø Цель: выработать навык простейших операций со случайными событиями и их вероятностями.

1. Какое событие называется суммой или произведением двух случайных событий?

2. Какие два события называются несовместными, противоположными, независимыми?

3. Теорема сложения двух несовместных событий и следствие.

4. Теорема умножения двух независимых событий и следствие.

5. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий.

6. Теорема сложения двух совместных, зависимых событий и следствие.

7. Условная вероятность и формула ее вычисления. Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий и следствия.

Пример 1. Студент не подготовил пять из двадцати вопросов программы. Экзаменационный билет, выбранный наудачу, состоит из трех вопросов. Какова вероятность того, что хотя бы один из вопросов билета оказался неподготовленным (событие А).

Решение. Первый способ. Требование – хотя бы один из вопросов билета оказался неподготовленным – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех событий: В = {один из вопросов билета неподготовлен}, С = {два вопроса билета неподготовлены},

D = {три вопроса билета неподготовлены}.

Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: А = В + С + D. По теореме сложения Р(А) = Р(В) + Р(С) + +Р(D). Найдем вероятности событий В, С и D (подобно решению примера 2, разобранного в теме 1):

Подставляя эти вероятности в выражение Р(А), окончательно получим Р(А) = 137/228.

Второй способ. Событие А = {хотя бы один из вопросов билета оказался неподготовленным} и Ā = {все вопросы билета подготовлены} – противоположные, поэтому Р (А) + Р (Ā) = 1. Отсюда Р (А) = 1 – Р (Ā). Вероятность появления события Ā

Искомая вероятность Р (А) = 1 – Р (Ā) = 137/228.

Пример 2. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7 и для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение. Введем обозначения событий: искомое событие А = {два попадания в цель}; В_i = { i -й стрелок попал}. Интересующее нас событие А состоит из трех несовместных слагаемых

в каждом из которых один стрелок промахнулся. По теореме сложения вероятностей

По теореме умножения вероятностей

Вероятности событий В_i соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Тогда вероятности противоположных событий равны 0,4; 0,3; 0,2. Искомая вероятность

Р (А) = 0,4×0,7×0,8 + 0,3×0,6×0,8 + 0,2×0,6×0,7 = 0,452.

Пример 3. В группе из 25 студентов 18 человек изучают английский язык, 12 – немецкий язык, а 10 человек изучают оба иностранных языка. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент изучает только один иностранный язык?

Решение. Пусть событие А = {студент изучает английский язык}, А₁ = {студент изучает только английский язык}, В = {студент изучает немецкий язык}, В₁ = {студент изучает только немецкий язык}. Тогда событие АВ = {студент изучает оба языка}. Изобразим эти события в геометрической форме на рисунке 1.

Рисунок 1 – Случайные события в геометрической форме

Следует отметить, что события А и В зависимы. Поэтому неприменим метод решения из предыдущего примера, в котором используется теорема умножения вероятностей. Рассмотрим другой метод.

Событие С = {студент изучает только один язык} изображено незаштрихованной частью фигур А, В и выражается в виде суммы двух несовместных событий С = А₁ + В₁. По теореме сложения вероятностей

Р(С) = Р(А₁) + Р(В₁).

Вероятность события А₁ определяется из условия А = А₁ + АВ с помощью вышеупомянутой теоремы

Р(А₁) = Р(А) – Р(АВ).

Аналогично определяется вероятность события В₁

Р(В₁) = Р(В) – Р(АВ).

Искомая вероятность вычисляется по формуле

р(С) = р(А) + р(В) – 2 р(АВ).

По классической формуле вероятности р(А) = 18/25; р(В) = 12/25; р(АВ) = 10/25. Таким образом, р(С) = 18/25 + 12/25 – 20/25 = 2/5.

Пример 4. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха.

Решение. Введем обозначения событий: А = { не будет ни одного промаха при n выстрелах}; А _i = {не будет промаха при i -м выстреле}. Интересующее нас событие А состоит в совместном выполнении событий А₁, А₂, …, А_n, то есть А = А₁ А₂ L А_n. Вероятность каждого события Р(А _i) = 0,8. События А _i независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:

Р(А) = Р(А₁ А₂ L А_n) = Р(А₁) Р(А₂) L Р(А_n) = (0,8) ⁿ.

По условию, (0,8) ⁿ < 0,4. Следовательно, n lg (0,8) < lg (0,4). Отсюда, учитывая, что lg (0,8) < 0, найдем n > lg (0,4) / lg (0,8) = 4,1. Таким образом, искомое число выстрелов n ³ 5.

Задания для самостоятельного решения

1. В студенческой группе 25 человек, среди которых 5 отличников и 10 учатся на 4 и 5. По списку наудачу отобраны 3 студента. Какова вероятность того, что хотя бы один из отобранных студентов отличник или учится на 4 и 5? (109/115).

2. Три электрические лампочки последовательно включены в сеть. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, равна 0,6. Какова вероятность того, что тока в цепи не будет? (0,936).

3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Какова вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков? (0,38).

4. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Какова вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта? (0,384).

5. Вероятность того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что деталь содержится:

а) не более чем в трех ящиках. (0,6976);

б) не менее чем в двух ящиках? (0,9572).

6. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,5. Какова вероятность того, что первое орудие поражает цель при одном выстреле, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,6? (0,5).

7. В группе из 28 студентов 15 лыжников, 18 бегунов, а 6 – занимаются обоими видами спорта. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент занимается только одним видом спорта? (3/4).

8. В ноябре в течение 15 дней шел дождь, в течение 7 дней шел снег, 2 дня шел дождь со снегом, а в остальные дни не было осадков. Какова вероятность того, что наудачу выбранный ноябрьский день оказался:

а) без осадков. (1/3);

б) только дождливым или только снежным? (3/5).

9. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков? (n ³ 7).

10. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз? (n ³ 2).

Дата добавления: 2015-06-25