Демонстрационные примеры. Вопросы для теоретической подготовки

Вопросы для теоретической подготовки

Байеса

Тема 4. Формула полной вероятности и формула

Ø Цель: научить пользоваться основными следствиями теорем сложения и умножения вероятностей.

1. Какие события называются попарно независимыми, независимыми в совокупности?

2. Полная группа событий и формула полной вероятности.

3. Априорная и апостериорная условная вероятность. Формула Байеса.

4. Пространство элементарных событий и его свойства.

Пример 1. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Какова вероятность того, что деталь из наудачу взятого набора – стандартная?

Решение. Обозначим рассматриваемое событие через А = {извлеченная деталь стандартна}. Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие В₁), либо из второго (событие В₂). Вероятности этих событий Р(В₁) = Р(В₂) = 0,5. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, Р(А | В₁) = 0,8, а условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, Р(А | В₂) = 0,9. Искомая вероятность вычисляется по формуле полной вероятности

Р(А) = Р(В₁) Р(А | В₁) + Р(В₂) Р(А | В₂) = 0,5 · 0,8 + 0,5 · 0,9 = 0,85.

Пример 2. В магазине предлагаются телевизоры двух марок: 30 % телевизоров марки «SONY» и 70 % телевизоров марки «ВИТЯЗЬ». Вероятность того, что телевизор этой марки выдержит гарантийный срок, соответственно равна 0,9 и 0,4. Наудачу купленный телевизор выдержал гарантийный срок. Что вероятнее: куплен телевизор марки «SONY» или «ВИТЯЗЬ»?

Решение. Обозначим событие А = {телевизор выдержал гарантийный срок}. Можно сделать два предположения: купленный телевизор может быть марки «SONY» (событие В₁) либо марки «ВИТЯЗЬ» (событие В₂). Вероятности этих событий Р(В₁) = 0,3 и Р(В₂) = 0,7. Условная вероятность того, что телевизор марки «SONY» выдержит гарантийный срок, Р (А | В ₁) = 0,9, а условная вероятность того, что телевизор марки «ВИТЯЗЬ» выдержит гарантийный срок, Р (А | В ₂) = 0,4. Вероятности того, что выдержавший гарантийный срок телевизор марки «SONY» или марки «ВИТЯЗЬ», вычисляются по формулам Байеса:

Таким образом, вероятнее всего куплен телевизор марки «ВИТЯЗЬ».

Задания для самостоятельного решения

1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Какова вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму? (0,86).

2. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Какова вероятность того, что извлечена стандартная деталь? (0,84).

3. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Какова вероятность того, что вторую извлеченную кость можно приставить к первой? (7/18).

4. для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. к какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент? (ко второй).

5. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, – с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту? (0,998).

Дата добавления: 2015-06-25