Прямоугольные координаты. Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадей плоских фигур

Пусть функция f (х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если f (х)≥0 на [а; b]то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу

Если же f(x) ≤ 0 на [а; b]то — f(х) ≥ 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой

или

Если, наконец, кривая y=f (х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b]надо разбить на части, в пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соот­ветствует.

Рис 9

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x², прямыми х=1, х = 3 и осью Ох (рис 9).

Решение. Пользуясь формулой , нахо­дим искомую площадь

S =

Рис 10

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абс­цисс при условии (рис 10). [1]

Решение. Разбиваем сег­мент [0; ] на два сегмента [0; ] и [ ; 2 ]. На первом из них sinx ≥ 0, на втором — sinx ≤ 0. Следовательно, ис­пользуя формулы

и , имеем, что искомая площадь

Дата добавления: 2015-06-26