Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

Введение

Производная находит широкое применение при решении различных задач. В настоящей методической работе приведен необходимый материал без доказательства, который проиллюстрирован примерами. Далее приведены примеры для самостоятельного решения. Нами рассмотрены теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Теоремы Лопиталя-Бернули для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов, формула Тейлора и применение производной для исследования функций.

Для понимания материала и решения задач студенту необходимо знать таблицу производных и правила дифференцирования функций. Методическая работа может быть использована студентами и преподавателями на практических занятиях по данной теме.

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и на концах отрезка принимает равные значения, т.е. , то существует точка такая, что . Точки, в которых , называются стационарными точками функции .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале , то существует точка такая, что справедливо равенство

.

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы в интервале и , то существует точка такая, что

.

Решить следующие задачи:

1. Функция имеет на концах отрезка равные значения (проверьте). Производная данной функции в интервале не обращается в нуль ни в одной точке (проверьте). Какие условия Теоремы Ролля для данной функции на отрезке не выполнены?

2. Пусть . Показать, что три корня уравнения действительны.

3. Доказать, что уравнение не имеет корней в интервале .

4. Пусть в интервале . Доказать, что на .

5. Пусть и удовлетворяют всем условиям Теоремы Коши на . Применим Теорему Лагранжа к функциям и , тогда получим . Из последних двух равенств получим:

(Формула Коши)

Найти ошибку в доказательстве.

Дата добавления: 2015-06-26