КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формула Тейлора. Если функция в некоторой окрестности точки имеет производную, то для любого
Если функция в некоторой окрестности точки имеет производную, то для любого из этой окрестности справедлива формула Тейлора или где (по определению). Точка расположена между и . В данном случае остаточный член записан в форме Лагранжа. Полагая в формуле Тейлора , получим формулу Маклорена.
Пример 7. Многочлен разложить по степеням . Решение. Так как данный многочлен имеет степень 3, то все производные порядка выше 3 будут тождественно равны нулю. В данном случае . По формуле Тейлора имеем: . Написать формулу Маклорена при для функций Написать формулу Тейлора при для функций .
Формула Тейлора (в частности Маклорена) часто используется в приближённых вычислениях. или . При этом ошибка равна , где точка расположена между и .
Пример 8. Вычислить с точностью . Решение. Рассмотрим функцию , которая бесконечное число раз дифференцируема на всей числовой оси, при этом . Поэтому для функции можно написать формулу Маклорена при любом . , где , точка расположена между 0 и . При будем иметь: , где Отсюда имеем: , при этом ошибка равна . Оценим остаток, учитывая неравенство , . Подберём наименьшее , чтобы выполнялось неравенство . Легко видеть, что , т.к. . Следовательно, .
Вычислить с точностью до следующие значения 30. а) б) в) г)
Дата добавления: 2015-06-26; Просмотров: 333; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |