Показатели вариации. Мода и медиана в интервальном вариационном ряду

Мода и медиана в интервальном вариационном ряду

Мода и медиана всегда соответствуют определенной варианте.

Пример.Распределение рабочих по заработной плате

Группа рабочих по размеру месячной з/платы руб.	Число рабочих Кумулятивные частоты
3300-3400	10 10
3400-3500	50 60
3500-3600	100 160
3600-3700	115 275
3700-3800	180 455
3800-3900	45 500
Итого	500 -

Наибольшая частота соответствует интервалу, где варианта лежит в пределах от 3700-3800. Это и есть модальный интервал. Для расчета определенного значения, заключенного в этом интервале, применяют формулу

Мо = Х мо +i мо x (fмо – fмо-1): ((fмо – fмо-1) + (fмо – fмо+1)

где– Х мо – минимальная граница модального интервала (в нашем примере 3700)

i мо – величина модального интервала (в нашем примере 100)

fмо – частота модального интервала (в нашем примере 180)

fмо-1 – частота интервала предшествующего модальному (в нашем примере 115)

fмо+1 - частота интервала, следующего за модальным(в нашем примере 45).

Мо = 3700 + 100 х (180-115) / (180-115) + 180-45) = 3700 + 100 х 65/200 = 3700+100х0,325= 3732,5

Вывод: модальная з/плата составит 3732,3 руб.

Определение медианы: Сначала определим интервал, в котором она находится (медианный интервал), таким интервалом будет кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот. Кумулятивные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака. Половина суммы частот в нашем примере равна 250 (500:2). Медианным интервалом в нашем примере будет интервал со значением з/платой от 3600 до 3700 руб. До этого интервала сумма накопленных частот составила 160, а у нас медиана 250.

А) определяем номер медианы Nме =∑f: 2 = 500:2= 250:, т.е. з/плата 250 –го рабочего разделит совокупность пополам.

Б) определяем медианный интервал по номеру медианы (Nме) и по частоте модального интервала Ме = Х ме + i ме (∑f /2 – Sме-1): f ме

Х ме - начальное значение медианного интервала

i mе – величина медианного интервала

∑f – сумма частот ряда (численность ряда)

Sме-1 – сумма накопленных часто в интервалах, предшествующих медианному;

f ме-частота медианного интервала

(∑f /2 – Sме-1) –до медианного интервала всегда > 0

Ме = 3600+ 100 [(500:2 -160): 115]= 3600 + 78,26 = 3678, 26 руб.

Итак, средняя арифметическая – 3658 руб. мода – 3732,3 руб. Медиана – 3678,26 руб.

Для измерения степени варьирования признака служат показатели вариации, формулы расчета которых представлены в табл.5.

Таблица 5.

Формулы расчета показателей вариации

№	Наименование	Формула расчета
Простая	Взвешенная
	Размах вариации	R = X max – X min	R = X max – X min
	Среднее линейное отклонение,	= ∑(X – ): n	= ∑(X – )f:∑f
	Дисперсия (средний квадрат отклонений),	σ²=∑(Х – )²: n	σ²=∑(Х – )² f:∑f
	Среднее квадратическое отклонение, σ	σ = √ ∑(X – )²: n	σ = √ ∑(X – )² f:∑f
	Коэффициент вариации, V	V = σ* 100%:	V = σ* 100%:

Размах вариации R = Xmax – X min – разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака, наиболее простой показатель, не связан с частотами в вариационном ряду, что придает ему неустойчивый, случайный характер. Он улавливает только крайние отклонения от средней. Недостаток этого показателя является то, что он не учитывает вариацию внутри признака.

Пример, Имеются следующие данные о производительности труда рабочих в двух бригадах:

Таб. № рабочего	Произведено продукции за смену, шт.
1 бригада	2 бригада
Итого

Средняя производительность труда в обеих бригадах одинакова

1 = 2 = 50:5 =10

Однако в первой бригаде вариация производительности труда значительно больше от 2 до 18), чем во второй (8-12), первая бригада по своему составу в отношении изучаемого признака менее однородна, чем вторая.

Размах производительности труда для первой бригады составит: 18-2 =16; для второй бригады: 12-8 =4. Этот показатель прост в вычислении и указывает на общие размеры вариации, но не дает представления о степени колеблемости внутри совокупности, так как вычисляется на основе только двух крайних значений признака совокупности.

Среднее линейное (арифметическое) отклонение используется для сравнения всех имеющихся значений со средней величиной.

= ∑(X – )f:∑f – недостаток - не учитываются знаки отклонений. Отклонения могут быть положительными или отрицательными в зависимости от значений признака. Применяют в статистике очень редко.

Сумма отклонений всех значений признака от средней арифметической будет равна нулю. Для определения среднего линейного отклонения, которое часто называют средним абсолютным отклонением, необходимо взять значения отклонений по абсолютной величине без учета знака.

Таб. № рабочего	1 бригада	2 бригада
Х1	Х-	| Х- |	Х2	Х-	| Х- |
		-8			-2
		-7			-1
		+2
		+5			+1
		+8			+2
Итого

= (∑|х – |): n = 30: 5 = 6 = (∑|х – |): n = 6: 5 = 1,2

Пример расчета среднего линейного отклонения взвешенного.

Имеются данные о производительности труда 50 рабочих.

Произведено продукции 1 раб. За смену шт. х	Число рабочих f	х f	Х-	| Х- | f
			-2
			-1
Итого

Средняя производительность 1 раб. =∑ х f: ∑ f = 500: 50 = 10 шт.

Отклонения каждого значения признака от средней и взвешенные отклонения представлены в табл. Среднее линейное отклонение

= ∑|х - | f: ∑ f = 48: 50 = 0,96 шт.Данная величина именованная и выражается в единицах измерения признака. Этот показатель дает более полное представление о степени колеблемости признака по сравнению с размахом вариации.

Среднее квадратическое отклонение. Находят отклонение каждой варианты ряда от средней арифметической (Х- ), возводят в квадрат, умножают на соответствующую частоту и суммируют. Полученную сумму произведений квадратов отклонений на частоты нужно разделить на сумму частот. В результате получим средний квадрат отклонений от средней арифметической или дисперсию признака.

σ = √ ∑(X – )² f:∑f - срднее квадратическое отклонение взвешенное, является абсолютной мерой вариации, выражается в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах процентах, гектарах и т.д.).

Пример 1	Пример 2
Х	f	Х-	(Х- )²	(Х- )² f	Х	f	Х-	(Х- )²	(Х- )² f
		-3					-3
		-2					-2
		-1					-1
∑		-	-		-		-	-

Среднее квадратическое является общепринятой мерой вариации признака.

σ²1= 118:132 = 0,89 σ²2 = 720:170 = 4,2

σ1 = √ 0,89 = 0,94 σ = √ 4,2 = 2,05

Среднее квадратическое отклонение во втором примере более чем в 2 раза превышает среднее квдратическое отклонение первого примера и характеризует более высокуювариацию признака во втором ряду по сравнению с первым.

Коэффициент вариации – относительный показатель, является мерой вариации и позволяет сравнивать степень варьирования признаков в вариационных рядах с разным уровнем средних. V = σ: Х х 100

Коэффициент вариации удобен для сравнения вариации разных признаков.

Например:Что больше варьирует рост мальчиков одного возраста или их вес? Нельзя сравнивать среднее квадратическое отклонение роста, равное 6см, и среднее квадратическое отклонение веса 4 кг. Но если знать, что средний рост составляет 114 см, а средний вес – 32 кг, то можно сравнивать коэффициент вариации роста, который будет равен = 5,3 %(6/114 х 100) и коэффициент вариации веса равен 12,5% (4/32 х 100). Вес мальчиков варьирует больше, чем их рост.

Коэффициент вариации является критерием типичности средней.Если коэффициент вариации очень большой (превышает, например 40%), то это значит, что разброс значений вокруг средней велик.

В приведенном ранее примере в первом ряду коэффициент вариации равен 0,188 (0,94:5) или 18,8%, а во втором – 0,41 (2,05:5) или 41%.

Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической.

σ²=∑(Х – )² f:∑f - (дисперия – рассеяние) Данная дисперсия взвешенная. σ²=∑(Х – )²:n – дисперсия простая.

Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии. Вычисление дисперсии среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации в интервальном вариационном ряду.

Пример:

Группа рабочих по размеру мес.з/платы, руб.	Варианты х	Число рабочих f	Х-	(Х-)²	(Х-)² f
3300-3400			-308
3400-3500			-208
3500-3600			-108
3600-3700			-8
3700-3800			+92
3800-3900			+192
Итого

Средняя арифметическая взвешенная = (33500 (3350 х 10) + 172500 (3450 х 50)+355000 + 419750 + 675000 + 173250) = 1829000:500 = 3658 руб.

σо² = 7468000: 500 = 14936 σо=√14936 = 122,21руб.

V = 122,21: 3658 х 100 = 3,34%. Таким образом, среднее квадратическое отклонение равняется 122,21 руб., а коэффициент вариации – 3,34%.

Пример. Исчислим дисперсию по данным выше разобранной задачи

Произведено продукции 1 раб. За смену шт. х	Число рабочих f	х f	Х-	(Х-)²	(Х-)² f
			-2
			-1
Итого

вз = 10 шт. Дисперсия σ² = 74:50 = 1,48

Среднее квадратическое отклонение σ = 1,216 шт.

Если исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения, то сначала надо определеить дискретное значение признака, а далее применить тот же метод, что изложен выше.

Пример. Расчет дисперсии для интервального ряда на данных о распределении посевной площади по урожайности пшеницы.

Урожайность пшеницы ц/га	Посевная площадь, га	х	х f	Х-	(Х-)²	(Х-² f
14-16				-3,4	11,56
16-18				-1,4	1,96
18-20				0,6	0,36
20-22				2,6	6,76
Итого

Средняя арифметическая равна = 18400:1000= 18,4 ц с 1 га

Дисперсия σ² = 3240: 1000 = 3,24

Дата добавления: 2015-06-26