Теорема. Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного

Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного

Лекция №8

Формула для приращения функций.

Пусть функция W = f(Z) имеет в точке Z₀ производную . Покажем, что имеет место представление (1), где величина , когда .

Действительно, по определению производной имеем , следовательно, величина , когда . Поэтому имеет место представление (1) (умножим обе части на и перенесем в левую часть).

Функция W = f(Z) называется дифференцируемой в точке Z₀, если в этой точке имеет место представление (2), где A – фиксированное комплексное число, а величина стремится к нулю, когда .

Если функция W = f(Z) дифференцируема в точке Z₀, то главная линейная относительно ее часть A· приращение в точке Z₀ называется дифференциалом функции f(Z) в точке и обозначается .

Имеет место теорема.

Для того чтобы функция W = f(Z) была дифференцируема в точке Z₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную , при этом всегда оказывается, что в представлении (2) .

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке Z₀. Покажем, что она имеет в этой точке конечную производную, и что эта производная равна числу А. В силу дифференциации f(Z) в точке Z₀ имеет место представление (2), значит (3). Производя здесь предельный переход при получим, что , значит .

Достаточность. Пусть функция f(Z) имеет в точке Z₀ конечную производную . Покажем, что имеет место представление (2). В силу существования производной имеет место представление (1), но это и есть представление (2), в котором A = . Достаточность установлена.

Как мы знаем, дифференциал , принимая в качестве дифференциала независимой переменной Z ее приращение , то есть, полагая , мы можем записать и поэтому (это отношение дифференциалов, а не единый символ).

Дата добавления: 2015-06-26