Доказательство

Показательная функция

Лекция №16

W = e^Z (1)

Показательная функция W = e^Z определяется формулой e^Z = e^x(cosy+i∙siny) (2), где Z = x+i∙y. Вместо e^Z пользуются обозначением exp Z (экспонент Z).

Свойства показательной функции:

1. Из формулы (2) непосредственно следует, что для Z (Z - конечно), (). Arge^x = y+2kπ, k . Отсюда следует, что функция W = e^Z не обращается в нуль ни в одной точке.

2. Очевидно, если Z = i∙y (x = 0), то e^i∙y = cosy+i∙siny. Это равенство позволяет записывать комплексные числа в тригонометрической форме. Действительно, если Z = Z(cosφ+i∙sinφ), где Z = |Z |, φ = argZ, то очевидно будет Z = Z·e^i∙φ (3). Это и есть показательная форма записи комплексного числа.

3. Очевидно Z = x (т. е. y = 0), то e^Z = e^x, т.е. эта функция совпадает с вещественной показательной функции.

4. Справедливо равенство [ e^Z ]' = e^Z (для Z).

Очевидно у функции W = e^Z вещественная часть u=e^x·cosy, а мнимая часть v=e^x·siny. Эта функция имеет конечно непрерывные частные производные первого порядка и следовательно являются дифференцируемыми в любой точке. Причем справедливы равенства:

Следовательно, по известной теореме о существовании производной комплексной функции в точке функции W = e^Z имеет конечную производную в любой точке Z, и эта производная будет равна:

Теорема сложения.

Для любых двух комплексных чисел Z₁ = x₁+i∙y₁ и Z₂=x₂+i∙y₂ справедливо равенство .

Дата добавления: 2015-06-26