Вопросы к экзамену по ТФКП

Теорема.

Если степенной ряд

(1)

имеет положительный радиус сходимости, то его сумма I(Z) в круге сходимости | Z - Z₀ | < R бесконечно дифференцируема (т. е. имеет производную), причем производная любого порядка ρ = 1, 2 получится путем -кратного почленного дифференцирования ряда (1), так что радиусы сходимости рядов (5) равны R.

(5)

1. Комплексные числа.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел.

3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

4. Геометрическое истолкование суммы, разности, произведения, частного двух комплексных чисел.

5. Корень n - степени из комплексных чисел. Степень с произвольным рациональным показателем.

6. Предел последовательности комплексных чисел.

7. Геометрическое истолкование предела комплексных чисел.

8. Бесконечность и стереографическая проекция.

9. Ряды комплексных чисел.

10. Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.

11. Основные понятия плоских множеств.

12. Понятия функций комплексной переменной.

13. Предел функции комплексной переменной.

14. Непрерывная функция комплексной переменной.

15. Понятие равномерно-непрерывной комплексной переменной. Понятия обобщенной непрерывной функции.

16. Непрерывные кривые. Теорема Жордана.

17. Понятия производной функции комплексной переменной.

18. Дифференцируемость и дифференциал функции комплексной переменной. Правило дифференцирования. Производная степенной и обратной функции.

19. Необходимое и достаточное условие дифференцирования функции (условие Коши-Римана).

20. Понятие моногенной и аналитической функции. Условие Коши-Римана в полярной форме.

21. Геометрический смысл аргумента комплексно-значной функции вещественной переменной.

22. Геометрический смысл производной комплексной функции.

23. Конформные отображения.

24. Геометрический смысл модуля производной.

25. Дробно-линейная функция.

26. Угол с вершиной в бесконечности или бесконечно удаленная точка.

27. Гармонические и сопряжено гармонические функции.

28. Построение мнимой части аналитической функции по ее действительной части.

29. Элементарные аналитические функции. Многочлен.

30. Точки, в которых нарушается конформность отображения.

31. Групповое свойство дробно-линейной функции.

32. Круговое свойство дробно-линейной функции.

33. Образы областей ограниченных прямой или окружностью при дробно-линейном отображении.

34. Неподвижные точки дробно-линейного отображения.

35. Построение дробно-линейной функции заданной в трех точках.

36. Инвариантность двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.

37. Отображение области ограниченной прямыми или окружностями.

38. Показательная функция w = e^Z.

39. Тригонометрическая функция cos Z, sin Z.

40. Гиперболические функции вещественного переменного.

41. Однозначные ветви многозначных функций.

42. Логарифм.

43. Логарифмическая функция.

44. Степень с произвольным показателем.

45. Понятие поверхности Римана.

46. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара. Теорема Абеля.

47. Дифференцирование степенных рядов.

48. Комплексный интеграл и его свойства.

49. Изолированные особые точки аналитической функции их классификация.

50. Понятие вычета аналитической функции относительно ее особой точки. Основная теорема о вычетах.

Литература.

1. А.И. Маркушевич. Краткий курс теории аналитической функции.

2. И.П. Привалов. Введение в теорию комплексного переменного.

3. Л.И. Волковыский, Лунц, Араманович. Сборник задач по теории функции комплексного переменного.

4. Лаврентьев, Келдыш, Шаба. Теория аналитических функций и ее применение.

1. Н.Я. Виленкин, В.А. Петров. Математический анализ. Теория аналитической функции.

Дата добавления: 2015-06-26