Осьова і центральна симетрії. Поворот

Население Италии исповедует …. (католицизм).

По производству обуви среди развитых стран лидирует: 1. Италия. 2. Испания. 3. США. 4. Япония.

Расположите города Италии в порядке возрастания численности населения Рим-Милан-Неаполь-Турин.

Установите соответствие:

1. Норвегия, Финляндия, Исландия;
2. Испания, Италия, Греция;
3. Чехия, Румыния, Польша;
4. Франция, Австрия, ФРГ.

А) Южная Европа;

Б) Северная Европа;

В) Западная Европа;

Г) Восточная Европа.

Ответы: 1-Б;2-А;3-Г;4-В.

Означення. Точки A і A ₁ називають симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром відрізка AA ₁:

Якщо точка A належить прямій l, то її вважають симетричною самій собі відносно прямої l.

Наприклад, точки A і A ₁, у яких ординати рівні, а абсциси — протилежні числа, симетричні відносно осі ординат:

Розглянемо фігуру F і пряму l. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність симетричну їй відносно прямої l точку X ₁. Усі співставлені точки утворюють фігуру F ₁:

Говорять, що фігури F і F ₁ симетричні відносно прямої l або фігура F ₁ є образом фігури F при перетворенні осьова симетрія відносно прямої l. Пряму l називають віссю симетрії.

Теорема 18.1 (властивість осьової симетрії). Осьова симетрія є рухом.

Доведення.

Оберемо систему координат так, щоб вісь симетрії збігалася з віссю ординат.

Нехай точки A (x ₁; y ₁) і B (x ₂; y ₂) належать фігурі F.

Очевидно, що точки A ₁ (– x ₁; y ₁) і B ₁(– x ₂; y ₂) — їх відповідні образи при осьовій симетрії відносно осі ординат.

Маємо:

,

.

Отже, ми отримали, що AB = A ₁ B ₁, тобто осьова симетрія зберігає відстань між точками.

Наслідок. Якщо фігури F і F ₁ симетричні відносно прямої, то F = F ₁.

Означення. Фігуру називають симетричною відносно прямої l, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно прямої l, також належить цій фігурі.

Пряму l називають віссю симетрії фігури. Також кажуть, що фігура має вісь симетрії.

Наведемо приклади фігур, які мають вісь симетрії.

На рисунку зображено рівнобедрений трикутник. Пряма, яка містить його висоту, проведену до основи, є віссю симетрії:

Будь-який кут має вісь симетрії — це пряма, яка містить його бісектрису:

Рівносторонній трикутник має три осі симетрії:

Дві осі симетрії має відрізок: це його серединний перпендикуляр і пряма, яка містить цей відрізок:

Квадрат має чотири осі симетрії:

Існують фігури, які мають безліч осей симетрії, наприклад, коло. Будь-яка пряма, що проходить через центр кола, є його віссю симетрії:

Безліч осей симетрії має й пряма: сама пряма і будь-яка пряма, перпендикулярна до неї, є осями симетрії.

Приклад 1.

Побудуйте трикутник ABC, якщо дано точки A і B та пряму l, яка містить бісектрису кута С.

Розв’язання.

Оскільки пряма l є віссю симетрії кута ACB, то точка A ₁ — образ точки A при симетрії відносно прямої l — належить променю CB. Тоді перетином прямих l і BA ₁ є вершина C шуканого трикутника ABC:

Зауважимо, що коли l ^ AB, то задача має безліч розв`язків.

Приклад 2.

Точка O належить гострому куту ABC:

На сторонах BA і BC кута знайдіть такі точки E і F, щоб периметр трикутника OEF був найменшим.

Розв’язання.

Нехай точки O ₁ і O ₂ — образи точки O при симетріях відносно прямих BA і BC відповідно:

Нехай пряма O ₁ O ₂ перетинає сторони BA і BC у точках E і F відповідно. Доведемо, що точки E і F — шукані.

Зауважимо, що відрізки EO ₁ і EO симетричні відносно прямої BA. Отже, EO ₁ = EO. Аналогічно FO = FO ₂. Тоді периметр трикутника OEF дорівнює довжині відрізка O ₁ O ₂.

Нехай K і M — довільні точки променів BA і BC відповідно.

Зрозуміло, що KO = KO ₁ і MO = MO ₂.

Тоді периметр трикутника KOM дорівнює сумі O ₁ K + KM + MO ₂.

Проте O ₁ K + KM + MO ₂ ³ O ₁ O ₂.

Означення. Точки A і A ₁ називають симетричними відносно точки O, якщо точка O є серединою відрізка AA ₁ :

Точку O вважають симетричною самій собі.

Наприклад, точки A і A ₁, у яких абсциси і ординати — протилежні числа, симетричні відносно початку координат:

(рис. 174).

Розглянемо фігуру F і точку O. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність симетричну їй відносно точки O точку X ₁.

Усі співставлені точки утворюють фігуру F ₁:

Говорять, що фігури F і F ₁ симетричні відносно точки O або фігура F ₁ є образом фігури F при перетворенні центральна симетрія відносно точки O. Точку O називають центром симетрії.

Теорема 18.2 (властивість центральної симетрії). Центральна симетрія є рухом.

Доведення.

Оберемо систему координат так, щоб центр симетрії збігався з початком координат. Нехай точки A (x ₁; y ₁) і B (x ₂; y ₂) належать фігурі F.

Точки A ₁ (– x ₁; – y ₁) і B ₁(– x ₂; – y ₂) — відповідно їх образи при центральній симетрії відносно початку координат.

Маємо:

,

.

Отже, ми показали, що AB = A ₁ B ₁, тобто центральна симетрія зберігає відстань між точками.

Наслідок. Якщо фігури F і F ₁ є симетричними відносно точки, то F = F ₁.

Означення. Фігуру називають симетричною відносно точки O, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно точки O, також належить цій фігурі.

Точку O називають центром симетрії фігури. Також кажуть, що фігура має центр симетрії.

Наведемо приклади фігур, які мають центр симетрії.

Центром симетрії відрізка є його середина:

Точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії:

Існують фігури, які мають безліч центрів симетрії. Наприклад, кожна точка прямої є її центром симетрії.

Також безліч центрів симетрії має фігура, яка складається з двох паралельних прямих. Будь-яка точка прямої, рівновіддаленої від двох даних, є центром симетрії розглядуваної фігури:

Цей факт обґрунтовує така задача.

Задача.

Доведіть, що образом даної прямої l при симетрії відносно точки O, яка не належить прямій l, є пряма, паралельна даній.

Розв’язання.

Оскільки центральна симетрія — це рух, то образом прямої l буде пряма. Для побудови прямої достатньо знати дві будь-які її точки.

Оберемо на прямій l довільні точки A і B. Нехай точки A ₁ і B ₁ — їх образи при центральній симетрії відносно точки O:

Тоді пряма A ₁ B ₁ — образ прямої l.

Оскільки AO = OA ₁, BO = OB ₁, Ð AOB і Ð A ₁ OB ₁ рівні як вертикальні, то трикутники AOB і A ₁ OB ₁ рівні за першою ознакою рівності трикутників. Звідси Ð1 = Ð2. Отже, l || A ₁ B ₁.

Приклад 3.

Точка M належить куту ABC:

На сторонах BA і BC кута знайдіть такі точки E і F, щоб точка M була серединою відрізка EF. Розв’язання.

Нехай пряма A ₁ B ₁ — образ прямої AB при центральній симетрії відносно точки M. Позначимо F — точку перетину прямих A ₁ B ₁ і BC:

Знайдемо прообраз точки F. Очевидно, що він лежить на прямій AB. Тому достатньо знайти точку перетину прямих FM і AB. Позначимо цю точку E. Тоді зрозуміло, що E і F — шукані точки.

Вивчаючи навколишній світ, ми часто зустрічаємося з симетрією. Наприклад, це метелик, лист дерева, квітка, морська зірка, відображення гір в озері.

Об‘єкти, які мають вісь або центр симетрії, легко сприймаються і приємні для ока. Недарма в Стародавній Греції слово «симетрія» слугувало синонімом слів «гармонія», «краса».

Ідея симетрії широко використовується в образотворчому мистецтві, архітектурі й техніці. Хіміки і фізики говорять про симетрію явищ. Можна знайти прояви симетрії в музиці й поезії.

На рисунку зображено точки O, X, X ₁ і X ₂ такі, що OX ₁ = OX ₂ = OX, Ð X ₁ OX = Ð X ₂ OX = a:

Говорять, що точка X ₁ є образом точки X при повороті навколо центра O проти годинникової стрілки на кут a. Також говорять, що точка X ₂ — це образ точки X при повороті навколо центра O за годинниковою стрілкою на кут a.

Точку O називають центром повороту, кут a — кутом повороту.

Розглянемо фігуру F, точку O і кут a. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність точку X ₁, яка є образом точки X при повороті навколо центра O проти годинникової стрілки на кут a (якщо точка O належить фігурі F, то їй співставляється вона сама). Усі співставлені точки утворюють фігуру F ₁:

Говорять, що фігура F ₁ є образом фігури F при перетворенні поворот навколо центра O проти годинникової стрілки на кут a.

Аналогічно означають перетворення повороту фігури F за годинниковою стрілкою на кут a:

Зауважимо, що центральна симетрія є поворотом навколо центра симетрії на кут, рівний 180°.

Теорема 18.3 (властивість повороту). Поворот є рухом.

Довести цю теорему ви можете при поглибленому вивченні математики.

Наслідок. Якщо фігура F ₁ — образ фігури F при повороті, то F = F ₁.

Приклад 4.

На рисунку зображено пряму a і точку O:

Побудуйте образ прямої a при повороті навколо точки O проти годинникової стрілки на кут 45°.

Розв’язання.

Оскільки поворот — це рух, то образом прямої a буде пряма. Для побудови прямої достатньо знати дві будь-які її точки. Оберемо на прямій a довільні точки A і B. Нехай точки A ₁ і B ₁ — їх образи при повороті навколо точки O проти годинникової стрілки на кут 45°:

Тоді пряма A ₁ B ₁ — образ прямої a.

Приклад 5.

Точка P належить куту ABC:

Побудуйте рівносторонній трикутник, одна вершина якого є точкою P, а дві інші належать сторонам BA і BC відповідно.

Розв’язання.

Нехай пряма A ₁ B ₁ — образ прямої AB при повороті навколо центра P проти годинникової стрілки на кут 60°. Позначимо F — точку перетину прямих A ₁ B ₁ і BC.

Знайдемо прообраз точки F при виконаному повороті. Очевидно, що він лежить на прямій AB. Тому достатньо побудувати кут MPF, рівний 60°. Нехай прямі MP і AB перетинаються в точці E. Ця точка і є прообразом точки F.

Маємо: PF = PE і Ð FPE = 60°. Отже, D EPF — рівносторонній, а точки F і E — шукані.

Дата добавления: 2015-06-26