Частное и полное приращение функции

Рассмотрим линию пересечения поверхности

z = f (x, y)

с плоскостью y = const, параллельной плоскостью Oxz.

Так как в этой плоскости у сохраняет постоянное значение, то z вдоль кривой, у которой у постоянное, будет меняться только в зависимости от изменения х. Дадим независимой переменной х приращение D х; тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается через D _хz, так что

.

Аналогично, если х сохраняет постоянное значение, а у получает приращение D у, то z получает приращение, называемое частным приращением z по у. Это приращение обозначают символом D _уz:

.

Приращение D _уz функция получает «вдоль линии» пересечения поверхности z = f (х, у) с плоскостью x = const, параллельной плоскости Oyz.

Наконец, сообщив аргументу х приращение D х, а аргументу у – приращение D у, получим для z новое приращение D z, которое называется полным приращением функции z и определяется формулой

.

Надо заметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .

Пример 11. z = xy.

; ;

.

При х = 1, у = 2, D х = 0,2, D у = 0,3 имеем , , .

Аналогичным образом определяются частные и полное приращения функции любого числа переменных. Так, для функции трех переменных u = = f (x, y, t) имеем

,

,

,

.

Задание для самостоятельной работы.

Найти частные и полное приращения функции z:

11. u = x^2y^3.	12. u = ln(x+y).	13. .
14. .	15. u = arcsin(yx).	16. .
17. .	18. u = xy.	19. .
20. .	21. .	22. .

Дата добавления: 2015-06-04