Математическое подобие объектов. Обзор способов определения коэффициентов подобия

Напомним, что математическое подобие есть подобие математических выражений (описаний), характеризующих одинаковые свойства объектов, необязательно адекватных по своей материальной природе.

Например, процесс изменения напряжения u_c в контуре электрической цепи, состоящей из активного сопротивления R, емкости C, индуктивности L, источника напряжения E и выключателя K, описывается такими же дифференциальными уравнениями, как и процесс колебания груза, подвешенного на пружине, под воздействием силы тяжести и некоторого импульса. Однако, параметры уравнений, описывающих эти два процесса, будут иметь различную размерность. Но коэффициенты подобия безразмерны и будут иметь одинаковые численные значения. Это математическое подобие позволяет изучать механические колебания на электрических моделях и наоборот.

Известны и другие примеры формального математического подобия объектов, имеющих различный физический или семантический смысл.

Например, формулы вычисления вероятностей сложных событий по заданным значениям вероятностей простых событий, входящих в их состав, имеют формальное подобие формулам вычисления истинности сложных высказываний по значениям истинности составляющих их простых высказываний и т.д.

Таким образом, говоря о математическом подобии двух объектов, мы всегда имеем в виду подобие, вернее тождественность, математических описаний однородных свойств данных объектов.

В таких случаях доказательство адекватности оригинала и модели сводится к доказательству вышеизложенных теорем о подобии объектов.

Если исследуемый процесс может быть описан однородным дифференциальным уравнением вида:

или интегральным уравнением вида:

где х - параметр процесса, то коэффициенты подобия получают непосредственно из этих уравнений. Для этого данное уравнение приводят к безразмерному виду путем деления всех членов уравнения на один из этих членов и избавляются от знаков дифференцирования (интегрирования), считая, что отношения бесконечно малых величин равно отношению обычных значений параметров. Затем, члены уравнения преобразуют к виду

где j = 1,..., (n-1), C_j, a _j,...,w _j - безразмерные числа. Полученное при этом уравнение исследуемого процесса, представленное через коэффициенты подобия имеют вид:

где n - число функций (членов) в исходном уравнении, m - число параметров исследуемого процесса.

В том случае, когда невозможно составить дифференциальное (интегральное) уравнение процесса, коэффициенты подобия можно определить из анализа любой функциональной зависимости, представляющей собой описание исследуемого процесса.

Пусть процесс описывается функцией F(p₁,...,p_m) = 0, где - p_j - размерные физические величины, характеризующие исследуемый процесс.

Известно [3], что любая такая функция может быть представлена в виде

Fp (p ₁, p ₂,..., p _m-k) = 0,

где p ₁,..., p _m-k - коэффициенты подобия, k - число независимых параметров p_j в множестве p₁,...,p_m.

Если же математическое (функциональное) описание процесса в явном виде не известно, то коэффициенты подобия можно получить из словесного описания данного процесса методом анализа размерностей. Суть этого метода заключается в следующем.

1. Всякий процесс, объект или явление при моделировании или математическом описании представляется как уравнение или система уравнений.

2. Каждое уравнение отражает взаимосвязь параметров p₁,...,p_m. (Параметр p_i есть показатель определенного свойства Si).

3. Каждый параметр имеет условную меру - единицу измерения [P_i]. Единицы измерения бывают основными {a,b,...,q} и производными. В общем случае [P_i] = f (a,b,...,q), обычно

[P] = [a]^a [b]^b... [q]^z, (1.3)

где a, b,...,z - целые числа. Выражение (1.3) называется формулой размерности параметра (физической величины) или просто размерностью.

Показатели свойств (параметры или физические величины) бывают однородными (характеризующими одно и то же свойство и имеющими одинаковую размерность), одноименными (имеющими одинаковую размерность, но характеризующими различные свойства, т.е. имеющими различный физический смысл), и безразмерными.

4. Группа параметров (показателей свойств) называется группой независимых параметров, если размерность ни одного из параметров не может быть образована из размерностей других параметров из той же группы. Например, группа (l,m,v) есть группа независимых параметров, так как размерность пути [l] определяется как [L], размерность массы [m] определяется как [M] и размерность скорости [v] - как [V]=[L¹T^-1] и [V] не равно f([l],[m]).

5. Признаком независимости параметров p₁,...,p_m является существование хотя бы одного отличного от нуля определителя (D? 0) порядка k, образованного из элементов матрицы, составленной из показателей степеней при основных единицах измерения в формулах размерностей этих параметров.

Пример. Даны параметры p₁,p₂,p₃ с размерностями [P₁]=[Ll¹Mm¹Tt¹], [P₂]=[Ll²Mm²Tt²], [P₃]=[Ll³Mm³Tt³]. Эти параметры независимы, если система уравнений:

имеет единственное решение, а именно, когда

6. Для физического процесса, полностью характеризуемого m параметрами p₁,...,p_m, среди которых k параметров p₁,...,p_k являются независимыми, существует m-k критериев подобия p ₁,..., p _m-k. Число k равно рангу матрицы, образованной показателями степеней при основных единицах измерения параметров p_1,...., p_m .

7. В общем виде формулы для определения коэффициентов подобия имеют вид:

где x_i ,..., z_i - показатели степеней, получаемые из системы уравнений:

(1.4)

решением которой является выражение:

x_i = D₁ / D,..., z_i = D_k/ D,

где D - определитель системы (1.4), D₁,...,D_k - определители, составленные из D заменой соответствующего столбца 1,...,k столбцом свободных членов.

Таким образом, коэффициенты подобия для параметров исследуемого процесса могут быть получены и при отсутствии уравнений, описывающих данный процесс в явном виде. Достаточно иметь набор всех параметров и их размерности.

Подробнее методику отыскания коэффициентов критерия подобия различных систем и явлений смотрите в [3].

Дата добавления: 2015-06-04