Вопрос № 29 Дайте определение центра параллельных сил и докажите формулы для определения его радиус-вектора и координат

Вопрос № 28 Сформулируйте и докажите третью форму условий равновесия произвольной плоской системы сил.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно двух любых точек А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпендику­лярную прямой, проходящей через точки А и В, были равны нулю:

Докажем их доста­точность, т.е. докажем, что если выполняются условия (3), то рассматриваемая сис находится в равновесии. Выполнение первых двух условий (3) означает, что главный момент данной системы сил относи­тельно центров приведения А и В равен нулю. Такая система может иметь равно­действующую, приложенную в центре при­ведения, и при R*=** 0 линия действия равно­действующей проходит через точки А и В. Но по третьему условию из (3) проекция равнодействующей на ось Ох равна нулю. Так как ось Ох (рис. 1.40) не перпендику­лярна АВ, то это последнее условие может быть выполнено только в слу­чае, если R*=0, т.е. когда рассматриваемая система сил уравновешена.

Рассм с пар-х сил (F1, F2,...FN). Примем центр приведения за начало коор-т, причем ось Oz направим пар-но силам. При таком выборе системы коо-т, гл вектор R будет расположен на оси Oz, а гл момент Мо в пл хОу и, следовательно, перпендикулярен главному вектору R, т.е. второй инвариант системы параллельных сил всегда равен нулю. (рис. 1.43, а).

След-о, простр-ую сис пар-ых сил можно привест к равн-ей с, паре с, или она будет находиться в равновесии. Предположим теперь, что R=свс не=0. В этом случае сист пар-ых сил всегда приводится к рав-ей. Рассм сначала сис двух не равных по модулю пар-ых сил F1 и F2. Сложив эти силы, найдем, что их равнод-ая R1.2 прох через точку С1 кот делит отрезок А1А2, соед точки приложения данных сил, на части, обратно пропорцио­нальные силам:

Из этого рав-ва видно, что положение точки С1 на отрезке А1А2 не зависит от напр данных с в про-ве. Эта точка наз центром параллельных сил F1 и F2 (рис. 1.43, б). Равн-ую сис N парал-х сил (F1, F2... FN) можно найти так: сначала складываем две силы, например, F1 и F2, и на­ходим их равн-ую R1.2. Складывая затем с R1.2 и F3, полу­чим, что их равнод R1,2,З явл одно-но равнод с F1, F2, F3 и т.д. Точки приложения С1 С2..., равнод R1.2,R1.2,3 …, опред с пом рав-в анал-ых (1).

Найденная таким образом точка С, приложения равнод произв сист пар-ых сил с фикс точками приложения, не зависит от направления с в простр-е. Ее пол не изм, если одно-но повернуть с на один и тот же угол. Можно также пропорционально изм модули всех с. Точка С, через которую прох линия действия равнод сис парал с, при любых поворотах этих с око­ло фикс-х их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, наз центром пар-ных сил.

Найдем теперь коорд центра сис пар-х сил (F1 F2,...FN) (рис. 1.44). Радиус-векторы точек прил с обо­значим через rk (k = 1, 2, 3.....N), а радиус-вектор центра пар-х сил С обозначим через rc. Выберем одно из возможных напр па­р-х сил за пол-ое. Единичный вектор этого направления обозн е°, а проекции сил на направление вектора е° обозначим Fk. Тогда (2) (3)

По теореме Вариньона(4)

Далее, исп пред рав-ва (2) и (3), получим(5)или(6) Т.к по опр центра пар-х сил соо-ие (6) удовл-ся при любом направлении единичного вектора е°, то первый множитель в равенстве (6) должен быть равен нулю, т.е.

(7)

Откуда (8) Проецируя обе части этого равенства на оси координат, получа­ем формулы для координат центра системы параллельных сил:

(9)

Дата добавления: 2015-06-04