Вопрос № 31 Докажите как определяются координаты центра тяжести однородных тел простейшей формы (треугольника, дуги окружности

Центр тяжести линии

Рассмотрим однородный криволинейный стержень с постоян­ной площадью поперечного сечения (рис. 1.47). Предположим, что вес стержня и его элемента пропорционален его длине, т.е. Тогда формулы для координат центра тяжести однородного стержня имеют вид:

(4)

Интегралы, стоящие в числителях фор­мул (4) - криволинейные. Положение центра тяжести однородного стержня не зависит от его поперечных размеров, поэтому говорят, что формулы (4) определяют центр тяжести линии.

В заключение следует отметить, что оп­ределение центра тяжести однородных тел, имеющих плоскость, ось или центр симметрии, облегчается, т.к. центр тяжести таких тел лежит, соответственно, или в плоскости, или на оси, или в центре симметрии.

1. Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ ра­диуса R с центральным углом АОВ = 2а (рис. 1.48, а). В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ох.

Найдем координату хс по формуле: (1)

Выделим на дуге АВ элемент dl = Rdф, положение которого оп­ределяется углом ф.

Координата центра тяжести этого элемента Подставляя значения х и dl в формулу (1), получим

(2) Длина дуги L =2Ra. Тогда окончательно (3) При а = П/2 имеем случай полуокружности. В этом случае

Дата добавления: 2015-06-04