Свойства сходящихся рядов

Числовые ряды. Критерий сходимости Коши.

Лекция № 10

Пусть дана бесконечная последовательность чисел .

Определение 1. Бесконечная сумма называется рядом. Числа – члены ряда.

Ряд задан, если для любого известно правило, ставящее в соответствие номеру член ряда.

Ряд может быть задан:

1. формулой – го члена (например, ),

2. рекуррентным соотношением (например, , ).

Составим суммы . Величины называются частичными суммами ряда.

Определение 2. Если существует предел последовательности частичных сумм , то говорят, что сходится бесконечный ряд и его сумма равна _.

Если же не существует, либо он бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

Ряд может расходиться в двух случаях:

1. ,

2. последовательность не имеет предела.

Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится тогда и только тогда, когда существует предел его частичных сумм.

Пример 1. Рассмотрим геометрическую прогрессию , , . Из алгебры известно:

.

Если , то и , т.е. ряд сходится.

Если то и ряд расходится.

Если , то ряд имеет вид и .

Если , то . Такая последовательность не имеет предела, следовательно, ряд расходится.

Рассмотрим сходящийся ряд . Разность называется – ым остатком ряда (тоже сумма ряда).

Утверждение 1. Ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого остаток – сходится.

Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.

Дата добавления: 2015-06-04