Определение двойного интеграла

Рассмотрим на плоскости Оху область D площади S, ограниченную замкнутой кривой g (рис. 6). Пусть в области D определена функция z = f(x, y). Разобьем область D произвольным образом на п элементарных областей D₁, D₂, …, D_n, имеющих площади S₁, S₂, …, S_n и диаметры d₁, d₂, …, d_n (рис. 7). В каждой i -й элементарной области D_i выберем произвольную точку M_i(x_i, y_i), значение функции в этой точке f(x_i, y_i) умножим на площадь S_i соответствующей области и все произведения сложим. Полученная сумма

называется интегральной суммой функции f(x, y) в области D.

Если при интегральная сумма имеет определенный конечный предел

, (1)

не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек M_i(x_i, y_i) в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) в области D.

Рис. 7

Двойной интеграл обозначается одним из символов:

;

.

Функция z = f(x, y), для которой предел (1) существует и конечен, называется интегрируемой. Если функция z = f(x, y) непрерывна в области D, то она является интегрируемой в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла. Если f(x, y) > 0 в области D, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), с боков – цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит граница g области D, снизу – плоскостью z = 0.

Физический смысл двойного интеграла. Двойной интеграл от функции z = f(x, y) > 0 по области D представляет собой массу пластины D, если подынтегральную функцию f(x, y) считать плотностью этой пластины в точке М(х, у).

Свойства двойного интеграла:

1. , где с – постоянная.

2. .

3. Если f(x, y) £ g(x, y), то .

4. .

5. Если область интегрирования D разбита на две области D₁ и D₂, то

.

6. Оценка двойного интеграла. Если , то , где S – площадь области D, а т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x, y) в области D.

Дата добавления: 2015-06-04