Решение методом проекций

Решение методом проекций

1. Веревка будет натянута равнодействующей четырех заданных сил. Следовательно, определив модуль равнодействующей, получим усилие, возникшее в веревке, а определив направление равнодействующей, найдем положение натянутой веревки.

2. Изобразим точку В с действующими на нее силами на отдельном рисунке (рис. 43, б) и совместим оси проекций с силами P₂ и P₄.

3. Найдем проекции заданных сил на ось х:
X₁ = P₁ cos 55° = 40 cos 55° = 22,9;
X₂ = P₂ = 25;
X₃ = P₃ cos 30° = 25 cos 30° = 21,6;
X₄ = 0.

4. Находим проекции данных сил на ось у:
Y₁ = P₁ sin 55° = 40 sin 55° = 32,8;
Y₂ = 0;
Y₃ = -P₃ sin 30° = -25 sin 30° = -12,5;
Y₄ = -P₄ = -20.

5. Найдем проекции равнодействующей R на оси х и у:
X_R = 22,9 + 25 + 21,6 = 69,5;
Y_R = 32,8 - 12,5 - 20 = 0,3.

6. Найдем модуль равнодействующей:
R = sqrt(X_R² + Y_R²) = sqrt(69,5² + 0,3²) = 69,5 н.

Как видно, в данном случае проекция равнодействующей на ось у очень мала по сравнению с проекцией на ось х. Поэтому равнодействующая практически численно равна проекции на ось х. Следовательно, можно принять, что вектор равнодействующей направлен вдоль оси х вправо (проекция на ось х положительна), т. е. горизонтально.

Таким образом, четыре заданные силы натягивают веревку равнодействующей силой R, приложенной к точке В (к кольцу на конце веревки) и направленной горизонтально.

Другой конец веревки (точка A, рис. 43, а) закреплен, поэтому на кольцо В со стороны веревки действует еще одна сила, численно равная равнодействующей, но направленная в противоположную сторону. Эта сила называется уравновешивающей системы четырех сил.

На рис. 43, в показаны равнодействующая R и уравновешивающая R_ур.

Условие задачи На конце В горизонтального стержня АВ необходимо прикрепить две нити с грузами P₁=4 кн и P₂=0,8 кн, как показано на рис. 44, а. Под каким углом к этому стержню следует присоединить второй стержень BC, чтобы стержень AB растягивался силой P_A=2 кн? Какое усилие при этом будет испытывать стержень BC? Соединения стержней между собой и с опорами шарнирные. << задача 34 || задача 36 >>

1. На точку В действуют три силы: P₁ – вертикально вниз, P₂ – вдоль нити от точки В к блоку (под углом 30° к горизонтали) и противодействие (реакция) стержня P_A тому растягивающему действию, которое испытывает стержень. Изобразим эти три силы на рис. 44, б и найдем их равнодействующую, вдоль направления действия которой необходимо установить стержень ВС.

2. Оси проекций совместим с силами P₁ и P_A и определим проекции искомой равнодействующей сначала на ось х, а потом на ось у, зная, что каждая из них равна алгебраической сумме проекций данных сил на соответствующую ось:
X_R = ∑ X_i* = -P_A + P₂ cos 30° = -2 + 0,8 cos 30° = -1,31;
Y_R = ∑ Y_i* = -P₁ + P₂ sin 30° = -4 + 0,8 sin 30° = -3,6.

3. Обе проекции получаются отрицательными. Значит равнодействующая расположится так, как показано штриховым R на рис. 44, б, и положение стержня ВС определится углом α=∠(R; P_A).

4. Определим значение угла α из треугольника, образуемого R и его проекциями (рис. 44, в):
tg α = |Y_R| / |X_R| = 3,6 / 1,31 = 2,75.

Этому значению соответствует угол α = 70°.

5. Стержень ВС необходимо установить под ∠ABC=α=70° к стержню АВ и тогда он будет сжиматься силой, равной
R = |Y_R| / sin 70° = 3,6 / sin 70° = 3,83 кн.

Описанное положение стержня показано на рис. 44, г.

Если же установить стержень, как показано на рисунке штриховой линией ВС, то стержень будет испытывать растяжение, равное той же силе R=3,83 кн.

* Здесь ∑ X_i обозначена алгебраическая сумма проекции всех сил на ось х, а ∑ Y_i – алгебраическая сумма проекций тех же сил на ось у.

Условие задачи Определить равнодействующую пяти сил: P₁ = 52 н, P₂ = 70 н, P₃ = 69 н, P₄ = 77 н, P₅ = 70 н, действующих на точку А, как показано на рис. 45, а. << задача 35 || задача 39 >>

Дата добавления: 2015-06-04