Сложение сил, действующих на тело по одной прямой 1 страница

24. Самолет стоит на взлетной дороге. Какие силы действуют на воздушный лайнер? Какова их равнодействующая? Почему? Поясните на схеме.

25. С помощью башенного крана поднимают груз. Скорость подъ­ема постоянна. Определите, какие силы действуют на груз? Каковы их направления? Какова равнодействующая? Почему?

26. Какой силой по модулю уравновешивалась сила тяжести, дей­ствующая на спускаемый космический аппарат массой 2,4 тс первым в мире космонавтом Ю. А. Гагариным, когда снижение происходи­ло равномерно? Почему?

27. Корабельный якорь массой 1,5 т поднимают с помощью лебедки, которая развивает силу тяги 20 000 Н. Какова равнодействующая сил, приложенных к якорю? Каково ее направление? Каково движение: якоря — равномерное или неравномерное? Почему?

28. На автомобиль, движущийся горизонтально, действуют сила тяги двигателя = 1000 Н, сила трения = 400 Н и сила сопро­тивления встречного потока воздуха = 600 Н. Изобразите все силы, действующие на автомобиль. Все ли силы, действующие на автомобиль, здесь названы? Какова равнодействующая сил, действую­щих на автомобиль в горизонтальном направлении? Какова равно­действующая сил, действующих на автомобиль в вертикальном на­правлении?

29. По наклонной плоскости длиной А В = = 5 м и высотой ВС =h = 2м вкатывают бочку весом Р = 1000 Н (рис. 63). 1) Какая работа будет совершена, если груз непосредственно поднять на данную высоту? 2) Как велика работа, производимая при подъеме груза по наклонной плоскости без учета трения? 3) Исходя из равенства работ, определите силу F, которая необходима для перемещения бочки вдоль наклонной плоскости. 4) Во сколько раз данная наклонная пло­скость дает выигрыш в силе?

30. Тело массой М = 10 т поднимают с помощью клинового механизма (рис. 66). С какой силой нужно действовать на клин в горизонтальном направлении, чтобы равномерно поднять тело? АВ = 1 м, ВС = 10 м.

Ответы к задачам 23-30.

23. В случаях а, г результат действия силы при неизменном направлении зависит от положения точки приложения; в случаях б и в — от направления действия силы, если положение точки приложения остается неизменной.

24. На самолет действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Такая же по модулю сила упругости действует на самолет со стороны дороги, но направленная вверх. Равнодействующая этих сил равна нулю, так как самолет покоится, его скорость не изменяется.

25. На груз действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Со сто­роны каната действует такая же по модулю сила упругости, направленная вверх. Эти силы равны по модулю, так как уравновешивают друг друга. Равнодействую­щая этих сил равна нулю.

26. Силой сопротивления воздуха, равной 23,5 кН, направленной вертикально вверх.

27. Около 5 кН; равнодействующая сил направлена в сторону действия силы виги лебедки; движение якоря неравномерное. Отличная от нуля равнодействую­щая увеличивает скорость подъема якоря.

28. Не названа сила упругости, с которой полотно дороги действует на автомо­биль; она по модулю равна силе тяжести и направлена вверх. В горизонтальном направлении равнодействующая всех сил равна = + + = 0; в верти­кальном направлении равнодействующая всех сил также равна нулю.

29. 1) А = Ph = 1000 Н • 2 м = 2000 Дж.

2) Совершается такая же работа, что и при непосредственном подъеме груза.

3) Ph = F , отсюда F = Р = 1000Н • = 400 Н.

4) Р: F= 1000 Н: 400 Н = 2,5 раза, т. е. во столько раз, во сколько длина наклонной плоскости больше ее высоты h.

30. F = 98 кН без учета трения.

31. Координаты центра тяжести панели образуют трехмерный вектор = (150,30,120). Определить координаты центра тяжести этой панели при уменьшении ее геометрической модели в десять раз. Найти расстояние от угла панели до ее центра тяжести.

Решение задачи основано на использовании понятия коллинеарности векторов и формулы для вычисления длины вектора.

32. Курсант плывёт со скоростью в 2 раза меньшей скорости течения воды в реке. В каком направлении он должен плыть к другому берегу, чтобы его снесло течением как можно меньше?

33. Самолет, летящий горизонтально на высоте с постоянной скоростью v, должен сбросить груз в определенную точку на земле. На каком расстоянии от цели нужно сбросить груз? Постройте траекторию груза, если v = 800 км/ч, h =2 км.

34. На противоположный берег реки необходимо перевезти материал для строительства опоры моста. Скорость течения реки 1 м/с, ширина реки 250 м. Укажите направление движения баржи относительно прямой, перпендикулярной берегу, если точка переправы находится на 100 м выше по течению. Скорость баржи в стоячей воде равна 5 м/с. Найдите время переправы.

35. На противоположный берег реки необходимо перевезти материал для строительства опоры моста. Скорость течения реки 1 м/с, ширина реки 250 м. Укажите направление движения баржи относительно прямой, перпендикулярной берегу, если точка переправы находится на 100 м ниже по течению. Скорость баржи в стоячей воде равна 5 м/с. Найдите время переправы.

36. Магазин торгует гвоздями двух видов: 25 и 40 мм. Масса гвоздей соответственно 5 и 10 г, цена 10 и 15 руб. за 1 кг. Покупатель, веду­щий ремонт, хотел бы купить гвоздей на 20 руб. Опишите доступные ему на эту сумму наборы гвоздей. Подскажите покупатель, сколько и каких гвоздей ему надо купить, если он хотел бы купить гвоздей длиной 40 мм в два раза больше по массе, чем гвоздей 25 мм.

37. Кориолисова сила

Студентам геологических специальностей при изучении дисциплины «Геология Земли» может быть поставлен вопрос: «Почему правый берег северного полушария подмывается сильнее, чем левый?».

38. В данный момент времени известны координаты М (х ,у ) неприятельского самолета. Определить угол, под которым нужно выстрелить по этому самолету, чтобы снаряд попал в него; написать уравнение траектории снаряда (без учета сопротивления воздуха, шарообразности и вращения Земли).

39. Пушка стоит на шероховатой горизонтальной поверхности. Определить значение угла , при котором сила , необходимая, чтобы сдвинуть пушку, будет иметь наименьшую величину. Коэффициент трения равен f.

40. Определить скорость v , которую нужно сообщить ракете по вертикали вверх, чтобы она поднялась на высоту, равную радиусу Земли. При этом принимаем во внимание только силу притяжения Земли, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния ракеты от центра Земли. R = м; ускорение силы притяжения на поверхности Земли g = 9,8 м/с .

41. Два трактора ДТ-75 буксируют с помощью тросов каналокопатель. Како­ва суммарная сила тяги, если силы тяги тракторов 28 кН и 26 кН, а угол между тросами 35° (рис. 14)?

42. Выведите формулу зависимости силы сопротивления подъему трактора от силы тяжести трактора (, Н) и угла подъема (а, град).

43. Определите по выведенной формуле силу сопротивления подъему трак­тора МТЗ-80, если масса трактора 3100 кг, а угол подъема 8° (рис. 15).

44. Для того чтобы водонапорная башня при установке на животноводчес­ком комплексе во время подъема не перемещалась по фундаменту, ее нижнюю часть соединяют тросами с двумя якорями. Угол между тросами 90°, сила , действующая на нижнюю часть башни в одном из промежу­точных положений при подъеме автокраном, составляет 24,5 кН. Найдите силы и натяжения каждого троса (рис. 16).

Найти удерживающую силу и силу давления кра­нов на плоскость (силой трения пренебречь), если известны массы кранов в рабочем положении и уклон пути (табл.). Расчеты производить в СИ.

Тип крана	Масса крана, в рабочем положении, т	Преодолеваемый ук­лон пути, град	Удерживаю­щая сила Р, кН	Сила давления G крана на плоскость, кН
КС-4371
КС-4372
КС-5473	27,8
КС-6471
КС-7471	67,8
КС-8471

45. Стрелу башенного крана КБ-403 принимаем за вектор . Вычислить проекцию вектора на ось Ох, если угол между положительным направлением оси Ох и направлением вектора равен : а) | | = 20, = 30°; б) | | = 20, = 35°; в) | | = 25, = = 45°; г) | | = 25, = 50°.

46. Башенный кран переместил груз из положения А(3; 4) в положение В(-1; 3). Вычислить, какую рабо­ту произвела сила (6; —2), если ее точка приложения двигалась прямолинейно.

47. Груз был перемещен из точки А (—2; 3) в точку В (—2; —1), а потом в точку С (—1; 0). В полученном треугольнике ABC найти: а) внутренние углы; б) угол между медианой, проведенной из вершины А, и сторо­ной АС.

48. Камень массой т лежит на склоне, тангенс угла которого равен 1/6. Найдите составляющую вертикальной силы, дейст­вующей в направлении, перпендикулярном поверхности земли.

49. С самолета при высоте полета 30 м проводится подкормка посевов. Ветер, дующий горизонтально в направлении, перпен­дикулярном направлению движения самолета, сносит удобрения со скоростью v = 2 м/с.

Частицы удобрения под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха падают вертикально вниз со скоростью v = 3 м/с. Определить величину и направление сноса удобрений относительно линии, над которой летит самолет. Под каким углом к поверхности земли падают частицы удобрения? Найдите вектор пути s, пройденного частицей удобрения при ее падении на землю. Смешением массы падающего удобрения за счет скорости движения самолета пренебречь.

50. В пространстве двух товаров с ценами (3, 5) укажите не­сколько наборов товаров стоимостью 15, 30, 45. Пусть цены изменились и ста­ли (4, 4). Приведите примеры наборов товаров, которые подешевели, подоро­жали, остались той же стоимости.

51. Уличный фонарь весом Р = 12 кг подвешен в точ­ке В к середине троса АВС, прикрепленного концами к крюкам А и С, находящимся на одной горизонтали. Длина троса АВС = 20 м, а точка В подвеса фонаря отклоняется от горизонтали на ВД = 0,1 м. Не учитывая веса троса, определить натяжение Т = Т (рис. 11).

Решение. В точке В приложены три силы: вес улично­го фонаря и силы натяжения тросов.

Вес фонаря, приложенный в точке В, раскладываем на состав­ляющие по направлению АВ и ВС. Построенный параллелограмм является ромбом, т.к. натяжение частей троса одинаково. Проведя вторую диагональ ромба» получим четыре равных прямоугольных треугольника, гипотенузы которых численно равны силам , а малые катеты силам /2. Определим величины сил методом подо­бия силовых и конструктивных треугольников. Любому из четырех силовых треугольников подобны АPВ и BДС. Из подобия следует

. Отсюда и определяем величину силы натяжения Т = = 600кг.

Ответ. 600кг.

52. Мачтовый кран, состоящий из стрелы АВ = 8,5 м, прикрепленный шарниром А к мачте и цепи ВС = 3 см. К концу стрелы В подвешен груз Р = 200 кг. Расстояние АС = 6 см. Опре­делить натяжение Т цепи и усилие Q, действующее на стрелу. Вес цепи и стрелы не учитывать (рис.12).

Решение. В данном случае к концу стрелы приложены три силы: вес груза Р, сила натяжения цепи Т, усилие Q, действующее на стрелу. Силу Р рассматриваем как равнодействую­щую сил. Силовой треугольник со сторонами Р, Q, T подобен треугольнику ABC мачтового крана. Из подобия следует . Отсюда находим Q = = 283 кг

Т = = 100 кг.

При решении задач, где нужно найти равнодействующую трех, четырех, пяти сил, действующих на тело, т.е. решение силовых треугольников, четырехугольников, пятиугольников уже вызывает некоторые трудности. Поэтому следует познакомить слушателей и с аналитическим методом решения задач. Этот метод основывается на понятии проекции силы на ось. Известно, что ортогональная проекция силы на ось, подобна проекции любого вектора на ось, равна произведению модуля силы на косинус угла, образованного положительным направлением оси проекций и направлени­ем проектируемой силы (рис. 13).

Рассматривая силы, расположенные в одной плоскости, имеем:

проекция силы на ось ОХ, F = F cos(),

проекция силы на ось ОY, F = F cos().

Знак проекции на оси, модуль силы будет равен

F = , а cos() = F / F , cos() = F /F.

Из курса физики слушателям известно, что если на тело действуют силы, лежащие в одной плоскости, и сумма проекций сил на оси равна нулю, то тело находится в равновесии, т.е.

= 0, = 0.

Используя условия равновесия, можно решить задачу анали­тическим методом (методом проекций). Для этого необходимо:

Выделить твердое тело, равновесие которого будем рас­сматривать.

Изобразить заданные силы.

Выбрать в плоскости действия сил систему координат: одну из осей направить перпендикулярно к какой-либо неизвест­ной силе.

Составить уравнения равновесия твердого тела в проек­циях на оси координат.

Решить систему составленных уравнений и определить искомые величины.

Приведем решение нескольких типовых задач методом про­екций.

53. При анализе бракоразводных процессов был собран и обработан статистический материал за последний год в трех районах города Энска по ко­личеству разводов на почве: а) неверности одного из супругов; б) пьянства; в) материального неблагополучия. Результаты представлены по изученным рай­онам тремя векторами с координатами, соответствующими перечисленным ви­дам разводов:

= (20; 30; 10); = (15; 20; 15); = (25; 15; 8).

Выяснить, является ли данная информация достаточной для выражения анало­гичных процессов в других районах?

54. Группа студентов совершила туристическую поездку по ряду европейских стран. В конце путешествия обнаружилось, что в их кошельках накопились остатки валюты: 15 франков, 20 долларов, 10 фунтов стерлингов, и 40 немецких марок.

Студенты решили обратить валюту в рубли и организовать банкет. На обменном пункте они узнали курсы валют, которые составили: 1 франк – 10 рублей; 1 долларов – 30 рублей; 1 фунт – 15 рублей; 1 марка – 20 рублей.

Составить векторы валют и их курса.

Найти сумму денег в рублях, полученную студентами в обменном пункте.

Решение:

Составим векторы валют и их курса:

V=(15; 20; 10; 40) - валютный вектор; К=(10; 30; 15; 20) вектор курса валют.

Найдем сумму денег в рублях, полученную студентами в обменном пункте как скалярное произведение этих векторов:

(V∙K)=15∙10+20∙30+10∙15+40∙20=3800 руб.

55. Уличный фонарь весом Р = 12 кг подвешен в точ­ке В к середине троса АВС, прикрепленного концами к крюкам А и С, находящимся на одной горизонтали. Длина троса АВС = 20 м, а точка В подвеса фонаря отклоняется от горизонтали на ВД = 0,1 м. Не учитывая веса троса, определить натяжение Т = Т (рис. 11).

Решение. В точке В приложены три силы: вес улично­го фонаря и силы натяжения тросов.

Вес фонаря, приложенный в точке В, раскладываем на состав­ляющие по направлению АВ и ВС. Построенный параллелограмм является ромбом, т.к. натяжение частей троса одинаково. Проведя вторую диагональ ромба» получим четыре равных прямоугольных треугольника, гипотенузы которых численно равны силам , а малые катеты силам /2. Определим величины сил методом подо­бия силовых и конструктивных треугольников. Любому из четырех силовых треугольников подобны АPВ и BДС. Из подобия следует

. Отсюда и определяем величину силы натяжения Т = = 600кг.

Ответ. 600кг.

56. Мачтовый кран, состоящий из стрелы АВ = 8,5 м, прикрепленный шарниром А к мачте и цепи ВС = 3 см. К концу стрелы В подвешен груз Р = 200 кг. Расстояние АС = 6 см. Опре­делить натяжение Т цепи и усилие Q, действующее на стрелу. Вес цепи и стрелы не учитывать (рис.12).

Решение. В данном случае к концу стрелы приложены три силы: вес груза Р, сила натяжения цепи Т, усилие Q, действующее на стрелу. Силу Р рассматриваем как равнодействую­щую сил. Силовой треугольник со сторонами Р, Q, T подобен треугольнику ABC мачтового крана. Из подобия следует . Отсюда находим Q = = 283 кг

Т = = 100 кг.

При решении задач, где нужно найти равнодействующую трех, четырех, пяти сил, действующих на тело, т.е. решение силовых треугольников, четырехугольников, пятиугольников уже вызывает некоторые трудности. Поэтому следует познакомить слушателей и с аналитическим методом решения задач. Этот метод основывается на понятии проекции силы на ось. Известно, что ортогональная проекция силы на ось, подобна проекции любого вектора на ось, равна произведению модуля силы на косинус угла, образованного положительным направлением оси проекций и направлени­ем проектируемой силы (рис. 13).

Рассматривая силы, расположенные в одной плоскости, имеем:

проекция силы на ось ОХ, F = F cos(),

проекция силы на ось ОY, F = F cos().

Знак проекции на оси, модуль силы будет равен

F = , а cos() = F / F , cos() = F /F.

Из курса физики слушателям известно, что если на тело действуют силы, лежащие в одной плоскости, и сумма проекций сил на оси равна нулю, то тело находится в равновесии, т.е.

= 0, = 0.

Используя условия равновесия, можно решить задачу анали­тическим методом (методом проекций). Для этого необходимо:

Выделить твердое тело, равновесие которого будем рас­сматривать.

Изобразить заданные силы.

Выбрать в плоскости действия сил систему координат: одну из осей направить перпендикулярно к какой-либо неизвест­ной силе.

Составить уравнения равновесия твердого тела в проек­циях на оси координат.

Решить систему составленных уравнений и определить искомые величины.

Приведем решение нескольких типовых задач методом про­екций.

58. Самолет А летит со скоростью v = 800 км/ч. Под углом = 125 к его курсу летит самолет В со скоростью v = 1100 км/ч. С какой скоростью самолеты удаляются друг от друга?

59. Может ли один человек при помощи каната перетянуть двоих, если прилагаемые усилия у всех троих одинаковы? При каком условии это возможно?

60. Объясните, действие каких сил компенсируются в сле­дующих случаях:

а) подводная лодка покоится в толще воды,

б) подводная лодка лежит на твердом грунте

61. На тело действуют силы 10Н и I2H, направленные вле­во, и сила 14Н, направленная вправо. Проиллюстрируйте соче­тательный закон сложения сил, сложив три силы двумя спосо­бами.

62. Может ли при сложении двух сил, приложенных к твёр­дому телу в точке А и действующих под yглом друг к другу, оказаться, что величина равнодействующей будет меньше вели­чины любой составляющей?

63. Определите магнитный поток, пронизывающий плоскую прямоугольную поверхность, со сторонами 25 и 60 см. если магнитная индукция во всех точках поверхности равна 1,5 Тл, а вектор магнитной индукции образует с нормалью к этой по­верхности угол, равный 0°, 45° и 90°.

64. Магнитный поток внутри контура, площадь поперечно­го сечения которого 60 см; равен 0,3 мВб. Найдите индукцию поля внутри контура. Поле считать однородным.

65. Какую работу совершает равнодействующая всех сил при равномерном разгоне автомобиля массой 5 т из состояния покоя до скорости 36 км/ч на горизонтальном участке пути?

66. Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных вза­имно перпендикулярных осек с постоянными скоростями 3 сек и 4 сек. Найдите угловую скорость одного тела относительно другого.

67. Найдите угловые скорости:

а) суточного вращения Земли;

б) часовой стрелки на часах;

в) минутной стрелки на часах.

68. Материальная точка М. имеющая координаты (х; у; z) вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси OL, проходящей через начало координат и образующей с осями координат углы . Определить проекции вектора линейной скорости точки М на оси координат.

6. Каково направление углового ускорения в следующих случаях:

Дата добавления: 2015-06-04