Квантовомеханічний принцип суперпозиції

Замість класичного закону додавання імовірностей ми у лекції вже запровадили „квантовий” за­кон додавання амплітуд імовірностей, що збігається із законом додавання векторів. Узагальнення експериментів з квантовомеха­нічними системами свід­чить ще, що у квантовій механіці панує також дуже загальний принцип – т. з. квантово­механічний принцип суперпозиції. Закон додавання амплітуд є частковим ви­падком цього загального принципу. Квантовомеханічний принцип суперпозиції твердить: якщо квантовий об’єкт може знаходитись у станах з хвильовими функ­ціями ψ_n, n =1, 2,…, він також може знаходитись і в стані з хвильовою функцією

, (2.11)

де C_n – деякі комплексні числа. Цей принцип є основним принципом квантової механіки, він не має аналога у класичній механіці. Доповнимо вищесказане ще такими твердження­ми:

a) Кількість членів у сумі для ψ може бути як скінченою, так і необмежен­ною.

b) Якщо індекс n пробігає континуальну множину значень, тоді замість суми будемо мати інтеграл

. (2.12)

c) Якщо хвильова функція ψ задовольняє деякі рівняння, тоді й функції ψ_n задовольняють ці ж рівняння. Отже, всі рівняння, яким задовольняють хвильові функції у квантовій механіці, є лінійними. Зокрема, це стосується, в першу чергу, рівняння Шредінґера – і це слід вважати важливим наслідком принципу супер­пози­ції.

d) Множина всіх хвильових функцій квантової системи (тобто, множина всіх фізичних станів квантової частинки) утворює лінійну множину комп­лекснозначних функцій трьох дійсних змінних , для яких при фіксованому t

. (2.13)

Через R ₃ позначимо множину координат точок нашого реального тривимір­ного простору. Надалі цю лінійну множину всіх квадратично ін­тегровних функцій , , будемо позначати як простір . Буде­мо також використо­вувати без зайвих пояснень позначення , .

Нагадаємо, що лінійним нормованим простором у математиці названо множину елементів будь-якої природи, для яких визначені операції додавання і множен­ня на число з виконанням звичайних для цих операцій законів. Число є нормою вектора . Її позначають символом . Елементи простору часто називаємо векторами. Отже, тепер перший основний постулат квантової механіки звучить так: стани квантовомеханічної системи описують­ся векторами простору .

Зауваження: слід було б обговорити ще одне важливе доповнення, зміст якого виражає твердження про те, що коефіцієнти C_n дають „ва́ги” окремих ψ_n станів у повному стані ψ, тобто визначають міру участі кожного зі станів ψ_n у формуванні загального стану ψ. Для т. з. „ортонормованих функцій ψ_n ” величи­на до­рівнює імовірності реалізації стану ψ_n, тобто дорівнює імовірності, з якою можна „виявити” стан ψ_n у загальному стані . Очевидно, що повна імовірність

. (2.14)

Остаточне з’ясування цих питань може відбутися тільки після ознайомлення з деякими математичними поняттями і властивостями Ґільбертового простору L ₂(R ₃). Зокрема це стосується понять „ повної ортонормова­ної системи функцій ψ_n ”, „ скалярного добутку двох векторів у Ґільбертовому просторі L ₂(R ₃)”, то­що.

Квантовий принцип суперпозиції станів відбиває дуже важливу властивість квантових систем, яка не має аналогу в класичній фізиці. Для ілюстрації цієї властивості розглянемо стан, якому відповідає така хвильова функція:

, (2.15)

де та – дві різні хвилі де Бройля:

. (2.16)

. (2.17)

В станах та квантова частинка рухається з повним значенням імпульсу

і , (2.18)

відповідно. В суперпозиційному стані рух частинки не характеризується пев­ним значенням імпульсу, оскільки цей стан не можна зобразити плоскою хви­лею де Бройля з одним значенням імпульсу. При вимірюванні на експерименті значення імпульсу частинки в суперпозиційному стані , з імовірністю одер­жується значення , а з імовірністю отримується значення .

Таким чином, квантова механіка передбачає наявність станів, в яких деякі фізичні величини не мають певних значень, чого не буває в класичній фізиці.

Дата добавления: 2015-06-04