Общее понятие корреляционно-регрессионного анализа

Корреляционно-регрессионный анализ

Имитационное моделирование задач, содержащих случайные параметры, принято называть статистическим моделированием.

Заключительным шагом создания модели является составление ее описания, которое содержит сведения, необходимые для изучения модели, ее дальнейшего использования, а также все ограничения и допущения. Тщательный и полный учет факторов при построении модели и формулировке допущений позволяет оценить точность модели, избежать ошибок при интерпретации ее результатов.

Наиболее широко применяемые математические методы в моделировании приведены в таблице 1.1.

Этап 4. Вычисления. При решении задачи необходимо тщательно разобраться с размерностью всех величин, входящих в математическую модель, и определить границы (пределы), в которых будет лежать искомая целевая функция, а также требуемую точность вычислений. Если возможно, вычисления при неизменных условиях проводятся несколько раз, чтобы убедиться, что целевая функция не изменяется.

Этап 5. Выдача результата. Результаты исследования объекта могут выдаваться в устой или письменной форме. Они должны включать в себя краткое описание объекта исследования, цель исследования, выбранную математическую модель, допущения и ограничения, основные результаты вычислений, выводы и обобщения.

Корреляционно-регрессионный анализ является одним из значимых методов построения математических моделей в экономике. Проблема регрессии характерна тем, что о распределениях изучаемых величин нет достаточной информации. Цель корреляционно-регрессионного анализа- определить общий вид математической модели в виде уравнения регрессии, рассчитать статистические оценки неизвестных параметров, входящих в это уравнение, и проверить статистические гипотезы о зависимости функции от ее аргументов.

Первоначально термин «регрессия» был употреблен Ф. Гальтоном (1886) в теории наследственности, затем его теоретические основы были разработаны К. Пирсоном, Р. Фишером, М. Бартлеттом и др. Значительным вкладом в регрессионный анализ явилась разработка метода наименьших квадратов К. Гауссом (1795), А. Лежандром (1806), А. Марковым (1900) и А. Колмогоровым.

Применение статистических методов измерения связей между отдельными факторами особенно необходимо при исследовании экономических процессов, где экспериментальное устранение влияния побочных факторов затруднено или невозможно.

Известны два типа связей: функциональные и регрессионные. Если функциональные связи точно выражаются аналитическими уравнениями, то регрессионные связи выражаются уравнениями лишь приближено. В общем случае можно сказать, что связь между функцией и аргументами будет тогда функциональной, когда будут точно учтены все аргументы, определяющие значение функции, что в экономических моделях весьма проблематично.

Уравнение регрессии составляется исследователем на основе характера связи между функцией и аргументами. Вопрос о форме связи решается, как правило, поэтапно.

Вначале рассматривается линейная форма связи вида

Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_nx_n,

Где x₁-факторы, i=1,2,…,n, так как форма связи часто встречается на практике и для нее разработан хороший математический аппарат.

При этом могут решаться следующие задачи:

• установление точности определения коэффициентов уравнения регрессии b_i в виде значений дисперсий S²(b_i)или величины доверительных интервалов;

• установление значимости коэффициентов b_i;

• проверка адекватности установленной формы связи экспериментальным данным.

При установлении тесноты связи между Yи X решается задача установления строгости соблюдения функциональной зависимости между изменениями Yи X. Для оценки тесноты связи между случайными переменными величинами используются показатели:

а) в случае линейной формы связи:

• коэффициент парной корреляции r_ух или r_xy,характеризующий строгость соблюдения пропорциональности, т.е. близость исследуемой формы связи к линейной;

• коэффициент частной корреляции характеризующий тесноту связи между изучаемыми переменными при условии, что влияние остальных факторов исключается;

• коэффициент множественной корреляции R_yXiX...._Xt, характеризующий суммарное влияние всех факторов на величину Y;

б) в случае нелинейной формы связи:

• корреляционное отношение г, которое является характеристикой того, насколько строго соблюдается функциональная связь между исследуемыми переменными. Это!' показатель применим и для оценки тесноты связи в случае линейной формы связи. В этом случае он равен абсолютному значению коэффициента парной корреляции:

• множественное корреляционное отношениеR_yXiX...._Xt.., которое является, характеристикой тесноты связи между Y и X.

Аппарат корреляционно-регрессионного анализа используется в двух направлениях:

• для проведения статистического анализа результатов наблюдений пассивных экспериментов (экспериментов, в которых независимые переменные х, не могут изменяться экспериментатором, т.е. не регулируются). В результате такого анализа решение вопроса, о виде формы связи не является окончательным, т.е. можно принять в качестве математической модели процесса большое число уравнений регрессии, удовлетворяющих полученным экспериментальным данным;

• совместно с методом наименьших квадратов для планирования статистических экспериментов и анализа результатов. В этом случае планирование экспериментов осуществляется в соответствии с принятым видом уравнения связи У и X.

В соответствии с числом учитываемых независимых переменных характером связи между Yи X различают:

а) по количеству исследуемых переменных:

• парный корреляционно-регрессионный анализ;

• множественный корреляционно-регрессионный анализ;

б) в зависимости от формы связи:

• линейный корреляционно-регрессионный анализ;

• нелинейный корреляционно-регрессионный анализ.

Широкое распространение в практике математического моделирования получило уравнение регрессии вида

Y = f(x),

где х - величина, рассматриваемая как случайная независимая переменная;

Y - случайная зависимая величина.

При линейной форме связи эту зависимость можно выразить уравнением прямой

Y= b₀ + b₁x₁

Для ее построения требуется провести п экспериментов, в каждом из которых должна фиксироваться пара значений (; ). Результаты эксперимента представляются либо в виде таблицы, либо в визе трафика.

Значение фактора			……		….
Значение фактора			……		…..

Рассматривая экспериментальные точки (x_i; y_i) прямоугольной системе координат, мы видим, что в случае а (рис. 4.1, а) часть точек лежит на прямой у = b₀ + b₁x,часть – ниже и выше ее. В этом случае для построения модели зависимости Y от X можно использовать линейное уравнение регрессии, в случае б(рис 4.1, б) – нелинейное уравнение, а в случае в (рис. 4.1, в)применение регрессионного анализа вообще проблематично.

Рис. 4.1. График результатов эксперимента.

Дата добавления: 2015-06-04