Основные понятия. Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

F(x;y;y';y")=0 (1.1)

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

у" = f(x;y;y'). (1.2)

Будем в основном рассматривать уравнение вида (1.2): от него всегда можно перейти к (1.1).

Решением ДУ (1.2) называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ (1.2) называется функция , где и не зависящие от x произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. является решением ДУ для каждого фиксированного значения и .

2. Каковы бы ни были начальные условия

, , (1.3)

существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения (1.2) и удовлетворяет начальным условиям (1.3).

Всякое решение уравнения (1.2), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных и , называется частным решением.

Решения ДУ (1.2), записанные в виде , , называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ (1.2) представляет собой множество интегральных кривых; частное решение - одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом .

Переписав ДУ (1.1) в виде

видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координатами точки интегральной кривой, угловым коэффициентом касательной к ней и кривизной в точке . В этом состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (1.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (1.3), называется задачей Коши.

Теорема 1.1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (1.2) функция f(x;y;y') и ее частные производные и , непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y и у', то для всякой точки существует единственное решение уравнения (1.2), удовлетворяющее начальным условиям (1.3).

Примем теорему без доказательства.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п-го порядка, которое в общем виде записывается как

,

или

, (1.4)

если его можно разрешить относительно старшей производной.

Начальные условия для ДУ (1.4) имеют вид

, , , ……….., . (1.5)

Общее решение ДУ n-го порядка является функцией вида

,

содержащей п произвольных, не зависящих от х постоянных.

Решение ДУ (1.4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных , , ….. , называется частным решением.

Задача Коши для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (1.4), удовлетворяющее начальным условиям (1.5).

Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Задача нахождения решения ДУ n-го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.

Дата добавления: 2015-06-04