Основные понятия. Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей;

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых функций следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида

(3.1)

называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (3.1).

Так, система трех ДУ второго порядка

описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных: , , , приводится к нормальной системе ДУ:

Уравнение третьего порядка у'" = f(x;y;y';y") путем замены , сводится к нормальной системе ДУ

Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением системы (3.1) называется совокупность из п функций , удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (3.1) имеют вид

, ,…., . (3.2)

Задача Коши для системы (3.1) ставится следующим образом: найти решение системы (3.1), удовлетворяющее начальным условиям (3.2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.

Теорема 3.1 (Коши). Если в системе (3.1) все функции f_i (x;y ₁ ;...;y_n) непрерывны вместе со всеми своими частными производными по , в некоторой области D ((п + 1)-мерного пространства), то в каждой точке этой области существует, и притом единственное, решение , ,…, , системы, удовлетворяющее начальным условиям (3.2).

Меняя в области D точку (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от п произвольных постоянных:

, ……………, .

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (3.2) можно однозначно определить постоянные из системы уравнений

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных , называется частным решением системы (3.1).

Дата добавления: 2015-06-04