Функциональные ряды. Основные понятия

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:

(7.1)

Придавая х определенное значение х ₀, мы получим числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка х ₀ называется точкой сходимости ряда (7.1); если же ряд расходится - точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S = S (x). Определяется она в области сходимости равенством

,

где - частичная сумма ряда.

Пример 7.1. Найти область сходимости ряда .

Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q = х. Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех ; сумма ряда равна :

, при .

Пример 7.2. Исследовать сходимость функционального ряда

.

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

(7.2)

Так как при любом имеет место соотношение , а ряд с общим членом сходится (обобщенный гармонический ряд, p = 2 > 1, см. п. 5.4), то по признаку сравнения ряд (7.2) сходится при .

Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех .

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. так называемый степенной ряд:

(7.3)

Действительные (или комплексные) числа - называются коэффициентами ряда (7.3), - действительная переменная.

Ряд (7.3) расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням , т.е. ряд вида

, (7.4)

где х ₀ - некоторое постоянное число.

Ряд (7.4) легко приводится к виду (7.3), если положить . Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида (7.3).

Дата добавления: 2015-06-04