Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Ряды Тейлора и Маклорена




РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

 

 

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

В математике доказано ([3] теорема 26.1), что для любой функции , определённой в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива фомула Тейлора:

 

, (8.1)

 

где , - остаточный член в форме Лагранжа. Число можно записать в виде , где . Формулу (8.1) кратко можно записать в виде:

 

,

 

где - многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестностях точки и остаточный член стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции по степеням , называемое рядом Тейлора:

 

(8.2)

 

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:

 

. (8.3)

 

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестностях точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции . Так, например, функция

 

 

имеет в точке производные всех порядков, причём при всяком (см. [3], пример 19.5). Ряд Маклорена имеет вид:

 

 

Он сходится, но его сумма в любой точке равна нулю, а не .

 

Пусть для функции составлен соответствующий ей ряд Тейлора.

Теорема 8.1. Для того чтобы ряд Тейлора (8.2) функции сходился к в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (8.1) стремился к нулю при , т.е. чтобы .

 

Пусть ряд Тейлора (8.2) сходится к функции в некоторой окрестности точки , т.е. . Так как -я частичная сумма ряда (8.2) совпадает с многочленом Тейлора , т.е. , находим:

 

.

 

Обратно, пусть . тогда

 

.

 

Замечание. Если ряд Тейлора (8.2) сходится к порождающей функции , то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т.е. . (Напомним, что , а , где - сумма ряда Тейлора).

 

Таким образом, задача разложения функции в степенной ряд сведена по существу к определению значений , при которых (при ). Если сделать это не просто, то следует каким-нибудь способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.

 

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая даёт простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

 

Теорема 8.2. Если модули всех производных ограничены в окрестности точки одним и тем же числом , то для любого из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции , т.е. имеет место разложение (8.2).

 

Согласно теореме (8.1), достаточно показать, что . По условию теоремы (8.2) для любого имеет место неравенство . Тогда имеем:

 

.

 

Осталось показать, что . Для этого рассмотрим ряд

 

.

 

Так как

 

,

 

то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,

 

.

 

Следовательно, .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 908; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.