Метод зон Френеля

Принцип Гюйгенса - Френеля объясняет прямолинейность распространения света в свободной от препятствий однородной среде. Чтобы показать это, рассмотрим действие сферической световой волны от точечного источника S₀ в произвольной точке пространства P (рис. 4.1). Волновая поверхность такой волны симметрична относительно прямой S₀P. Амплитуда искомой волны в точке P зависит от результата интерференции вторичных волн, излучаемых всеми участками dS поверхности S. Амплитуды и начальные фазы вторичных волн зависят от расположения соответствующих источников dS по отношению к точке P.

Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на зоны (метод зон Френеля). По этому методу волновая поверхность разбивается на кольцевые зоны (рис. 4.1), построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки P отличаются на l /2(l - длина световой волны). Если обозначить через b расстояние от вершины волновой поверхности 0 до точки P, то расстояния b + k (l /2) образуют границы всех зон, где k - номер зоны. Колебания, приходящие в точку P от аналогичных точек двух соседних зон, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки P равна l /2. Поэтому при наложении эти колебания взаимно ослабляют друг друга, и результирующая амплитуда выразится суммой:

A = A ₁- A ₂ + A ₃ - A ₄ +.... (4.1)

Величина амплитуды A_k зависит от площади DS _k k -й зоны и угла a _k между внешней нормалью к поверхности зоны в любой ее точке и прямой, направленной из этой точки в точку P.

Можно показать, что площадь DS _k k -й зоны не зависит от номера зоны в условиях l << b. Таким образом, в рассматриваемом приближении площади всех зон Френеля равновелики и мощность излучения всех зон Френеля - вторичных источников - одинакова. Вместе с тем, с увеличением k возрастает угол a _k между нормалью к поверхности и направлением на точку P, что приводит к уменьшению интенсивности излучения k -й зоны в данном направлении, т.е. к уменьшению амплитуды A_k по сравнению с амплитудами предыдущих зон. Амплитуда A_k уменьшается также вследствие увеличения расстояния от зоны до точки P с ростом k. В итоге

A ₁ > A ₂ > A ₃ > A ₄ >... > A _k >...

Вследствие большого числа зон убывание A_k носит монотонный характер и приближенно можно считать, что

. (4.2)

Переписав результирующую амплитуду (4.1) в виде

, (4.3)

обнаруживаем, что, согласно (4.2) и с учетом малости амплитуды удаленных зон, все выражения в скобках равны нулю и уравнение (4.1) приводится к виду

A = A ₁ / 2. (4.4)

Полученный результат означает, что колебания, вызываемые в точке P сферической волновой поверхностью, имеют амплитуду, даваемую половиной центральной зоны Френеля. Следовательно, свет от источника S₀ в точку P распространяется в пределах очень узкого прямого канала, т.е. прямолинейно. В результате явления интерференции уничтожается действие всех зон, кроме первой.

Дифракция Френеля от простейших преград

Действие световой волны в некоторой точке P сводится к действию половины центральной зоны Френеля в том случае, если волна безгранична, так как только тогда действия остальных зон взаимно компенсируются и можно пренебречь действием удаленных зон. При конечном участке волны условия дифракции существенно отличаются от описанных выше. Однако и здесь применение метода Френеля позволяет предвидеть и объяснить особенности распространения световых волн.

Рассмотрим несколько примеров дифракции Френеля от простых преград.

Дифракция на круглом отверстии. Пусть волна от источника S₀ встречает на пути непрозрачный экран с круглым отверстием BC (рис. 4.2). Результат дифракции наблюдается на экране Э, параллельном плоскости отверстия. Легко определить дифракционный эффект в точке P экрана, расположенной против центра отверстия. Для этого достаточно построить на открытой части фронта волны BC зоны Френеля, соответствующие точке P. Если в отверстии BC укладывается k зон Френеля, то амплитуда A результирующих колебаний в точке P зависит от четности и нечетности числа k, а так же от того, насколько велико абсолютное значение этого числа. Действительно, из формулы (4.1) вытекает, что в точке P амплитуда суммарного колебания

(первое уравнение системы при нечетном k, второе - при четном) или, учитывая формулу (4.2) и тот факт, что амплитуды двух соседних зон мало отличаются по величине и можно считать A_k-1 приблизительно равным A_k , имеем

, (4.5)

где плюс соответствует нечетному числу зон k, укладывающихся на отверстии, а минус – четному.

При небольшом числе зон k амплитуда A_k мало отличается от A₁. Тогда результат дифракции в точке P зависит от четности k: при нечетном k наблюдается максимум дифракции, при четном – минимум. Минимумы и максимумы будут тем больше отличаться друг от друга, чем ближе A_k к A₁ т.е. чем меньше k. Если отверстие открывает только центральную зону Френеля, амплитуда в точке P будет равна A₁, она в два раза больше той, которая имеет место при полностью открытом волновом фронте (4.4), а интенсивность в этом случае в четыре раза больше, чем при отсутствии преграды. Напротив, при неограниченном увеличении числа зон k, амплитуда A_k стремится к нулю (A_k<< A₁) и выражение (4.5) превращается в (4.4). Свет в этом случае фактически распространяется так же, как и при отсутствии экрана с отверстием, т.е. прямолинейно. Отсюда вытекает вывод о том, что следствия из волновых представлений и представлений о прямолинейном распространении света начинают совпадать тогда, когда число открытых зон велико.

Колебания от четных и нечетных зон Френеля взаимно ослабляют друг друга. Это приводит иногда к увеличению интенсивности света при закрывании непрозрачным экраном части волнового фронта, как это было в случае преграды с круглым отверстием, на котором укладывается только одна зона Френеля. Интенсивность света можно увеличить во много раз, если изготовить сложный экран - так называемую зонную пластинку (стеклянная пластинка с непрозрачным покрытием), которая закрывает все четные (или нечетные) зоны Френеля. Зонная пластинка действует подобно собирательной линзе. Действительно, если зонная пластинка закрывает все четные зоны, а число зон k = 2 m, то из (4.1) следует

A = A₁ + A₃ +...+ A_2m-1

или при небольшом числе зон, когда A_2m-1 приблизительно равно A, A = mA₁, т.е. интенсивность света в точке P в (2 m)² раз больше, чем при беспрепятственном распространении света от источника в точку P, при этом A = A₁ / 2, а интенсивность соот­вет­ствен­но / 4.

Дифракция на круглом диске. При размещении между источником S₀ и экраном круглого непрозрачного дис­ка СВ закрывается одна или несколько пер­вых зон Френеля (рис. 4.3). Если диск закроет k зон Френеля, то в точке P амплитуда суммарной волны

и, так как выражения в скобках можно принять равными нулю, аналогично (4.3) получаем

A = A_{k +1} / 2. (4.6)

Таким образом, в случае круглого непрозрачного диска в центре картины (точка P) при любом (как четном, так и нечетном) k получается светлое пятно.

Если диск закрывает лишь часть первой зоны Френеля, тень на экране отсутствует, освещенность во всех точках такая же, как и при отсутствии преграды. С ростом радиуса диска первая открытая зона отдаляется от точки P и увеличивается угол a между нормалью к поверхности этой зоны в какой-либо точке и направлением излучения в сторону точки P (см. принцип Гюйгенса - Френеля). Поэтому интенсивность центрального максимума ослабевает при увеличении размеров диска (A_k+1 << A₁). Если диск закрывает много зон Френеля, интенсивность света в области геометрической тени практически всюду равна нулю и лишь вблизи границ наблюдения имеет место слабая интерференционная картина. В этом случае можно пренебречь явлением дифракции и пользоваться законом прямолинейного распространения света.

Дата добавления: 2015-06-04