Степенева функція. Поверхня Римана

Функція називається степеневою, визначена та однозначна на всій розширеній площині z, z= ставимо у відповідність . Оскільки та для будь-якого , то у всіх зберігає кути та постійність розтягувань. При кути не зберігаються. Дійсно, якщо такі, що , , то , тобто кут між та дорівнює та збільшується у n разів згідно з кутом між .

Аналогічно з z= .

Теорема. Сектори взаємно однозначно, а значить і конформно відображаються на площину з вирізаним променем .

Доведення [1,2,3].

Причому границя області відображається у верхній берег розрізу , а границя у нижній берег розрізу, .

Розіб’ємо всю площину z на сектори , тоді сектору взаємно-однозначно ставить у відповідність площину з розрізом по променю . Позначимо - вказану площину відповідну , таких площин буде . Для взаємно-однозначного образу всієї розширеної площини z візьмемо n „листків” площини та розмістимо ці „листки” один над одним так, щоб точки з однаковими координатами були розміщені один над другим. „Склеїмо” розміщені один над одним „листки” по тим берегам розрізу , які є образами одного і того ж променя , який є загальною границею двох сусідніх секторів. Тобто, нижній берег розрізу з’єднаємо з верхнім берегом розрізу , вільний нижній берег розрізу – з верхнім берегом розрізу і так далі та, нарешті, нижній берег розрізу листка та верхній берег розрізу (останнє з’єднання потрібно розуміти у змісті ототожнення точок з однаковими абсцисами відповідних берегів розрізів та ). Крім того, у всіх площин „склеїмо” точки z=0 та z= . Отриману n –„листкову” замкнену поверхню називають поверхнею Римана значень функції .

Із всього вище сказаного можна зробити висновок: функція здійснює взаємно-однозначне відображення розширеної площини z на поверхню Римана, яке є конформним у всіх точках площини z, крім z=0 та z= .

Приклад: відобразити кут на верхню півплощину.

Розв’язання. відображає вказаний кут на нижню півплощину за властивостями степеневої функції. Тепер нижню півплощину потрібно відобразити у верхню. Це можна зробити за допомогою повороту на або радіан, тобто шукана функція має вид .

Вправи

1) відобразити кут на верхню півплощину;

2) кут на праву півплощину;

3) кут на нижню півплощину;

4) кут на ліву півплощину;

5) кут на коло ;

6) кут на коло .

Знайти образ областей при відображенні:

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) ,

Дата добавления: 2015-06-04