Показникова функція комплексної змінної

Функція виду

називається показниковою функцією, яка відображає розширену площину z на розширену площину .

Властивості

1) ;

2) ;

3) , тобто – період показникової функції.

Теорема: показникова функція взаємно-однозначно та конформно відображає смугу шириною , паралельну дійсної осі, на кут розчину з вершиною в початку координат.

Наслідок: смуга конформно відображається на площину з вирізаною додатною частиною дійсної осі. Причому, нижня границя переходе у верхній берег розрізу, а – в нижній берег розрізу.

Доведення див. [3, с. 91].

Поверхня Рімана, у яку конформно відображається розширена площина z будується наступним чином: потрібно взяти нескінченно багато площин , у яких відтворений розріз по додатній частині дійсної осі. Розміщуючи площини одна під іншою та нижній берег розрізу склеїмо з верхнім берегом розрізу і т. д. Та склеїмо площини у нескінченно віддаленій точці. Отримана нескінченно-листа поверхня – поверхня Римана.

Приклад: Відобразити за допомогою функції .

Розв’язання: () тоді , тобто , . Тоді та – спіраль.

Вправи

Вияснити, у що перетворюється за допомогою :

1) пряма ;

2) смуга ;

3) півсмуга ;

4) півсмуга ;

5) прямокутник ;

Знайти відображення, яке переводе:

6) смугу на площину;

7) смугу у праву півплощину;

8) смугу у ліву півплощину;

9) смугу у площину;

10) смугу у нижню півплощину.

Дата добавления: 2015-06-04