Теорема єдиності

Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів.

Означення. Нехай аналітична в області . Точка називається нулем , якщо .

Нехай розкладається в околі в ряд , тоді якщо – нуль , то . Якщо , – називається нулем порядку k.

Якщо - нуль порядку k, то , де - аналітична функція в околі і не є нулем функції .

Теорема. Нехай аналітична в області і обертається в нуль в різноманітних точках . Якщо послідовність сходиться до , в області .

Доведення теореми див. [2. с.263], [1, с.72].

Наслідок 1. Нулі аналітичних функцій – ізольовані точки.

Наслідок 2. Нехай аналітична в області , тоді в будь-якій обмеженій замкненій підобласті функція має скінчене число нулів.

Наслідок з теореми являє собою теорему єдиності:

Нехай і аналітичні в . Якщо в існує деяка підпослідовність різноманітних точок , що сходиться до деякої точки , в яких і співпадають, то в .

З теореми єдиності легко отримати:

Наслідок 1: Якщо і аналітичні в і співпадають на деякій кривій, що належить , то .

Наслідок 2: Якщо , аналітичні в , відповідно і , область така, що , то існує єдина аналітична функція

Приклад. Визначити нулі та їх порядок .

Розв’язання:

Нулями є точки . Покажемо, що нулі мають порядок 1. Дійсно, для нуля , та , тобто 3і – нуль першого порядку. Аналогічно для .

Вправи.

Знайти порядок нуля z=0 для функцій:

Дата добавления: 2015-06-04