Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження

Нехай аналітична в та . Розкладемо в степеневий ряд в околі точки

: .

Тоді можливі два випадки:

1) радіус збіжності ряду не більший відстані від до границі області .

В цьому випадку розклад не виводить первісну аналітичну функцію за межі області .

2) радіус збіжності ряду більший за відстань від до границі

Нехай – коло збіжності ряду, та , причому аналітична функція , що задана рядом в співпадає з в середині , тобто говорять, що є аналітичним продовженням в . Причому, за теоремою про єдиність, це продовження єдине. Міркуючи аналогічно для деяких і т.д. отримаємо аналогічне продовження вздовж ланцюга . Будуючи різноманітні ланцюги областей, що виходять за , ми отримаємо аналітичне продовження на область, що містить .

Означення. Функція F(z), отримана шляхом аналітичного продовження вздовж різноманітних ланцюгів, що виходять з області , первинного задання , називається повним аналітичним продовженням функції .

Розглянемо ряди

.

Степеневі ряди сходяться по всій - площині. Крім цього, , - задані по всій площині і є аналітичними, причому, , для і по теоремі єдиності , тобто , - аналітичні продовження , з дійсної осі.

Більш детально див. [1, 2, 3].

Дата добавления: 2015-06-04