Optical Fourier-processor

Оптический Фурье-процессор

Решая задачу о распространении тепла, Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) разработал метод разложения функций на синусоидальные составляющие. Такое разложение, как и обратная операция, когда они применяются к двумерным информационным массивам, являются достаточно сложными вычислительными задачами, на решение которых компьютеры затрачивают немало времени. Однако, сложные и громоздкие двумерные преобразования Фурье, требующие ощутимых затрат машинного времени, мгновенно осуществляются простейшим оптическим вычислительным устройством – сферической поверхностью раздела двух сред с разными скоростями распространения волн. В качестве такой поверхности обычно используется поверхность линзы [Франсон, 1972, с. 174].

Заслуживает удивления тот факт, что и обратное преобразование Фурье, хотя описывается иной, не менее сложной формулой, тоже выполняется точно такой же линзой.

На рис. 3.1 представлена схема оптического преобразователя Фурье. Здесь:

T – транспарант (диапозитив) с исходным изображением; L – положительная (т.е. обычная, выпуклая) линза; Р – фокальная плоскость линзы; W – поверхность, на которой формируется Фурье-образ изображения, записанного на транспаранте, т.н. частотная область Фурье-преобразования; f – фокусное расстояние линзы.

Как видно из рисунка, транспарант с исходным изображением освещается слева параллельным пучком когерентных лучей. После прохождения лучей сквозь транспарант и

The information about the addressing mechanism, i.e. control over direction of waves, is given in Section 3.4.2.

By now, the holographic data recording theory has been very well developed, however as applied to using the sinusoidal waves. As for the brain, the solitons act there. The specificity of soliton holography is to be investigated in future. Certainly, it will facilitate the knowledge of the brain physiology.

While solving the problem of heat distribution, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) has developed the method of expanding the functions into sinusoidal components. Such expansion, as well as an inverse operation, when applied to 2D information arrays, is rather complicated computational tasks requiring much computer time. However, complicated and bulky and time-consuming 2D Fourier transforms can be immediately accomplished with the simplest optical computing device that is a spherical interface between two media with different wave propagation rates. For such interface, the surface of the lens is usually used [Franson, 1972, p. 174].

The amazing thing is that the reverse Fourier transform, though been described by a different but not less complicated formula, is also implemented with the same lens.

Fig. 3.1 gives a schematic of the optical Fourier transformer, where:

T – transparency (slide) with a source image; L – a positive (i.e. traditional convex) lens; Р – focal plane of the lens; W – the surface on which a Fourier-pattern of the image recorded on the transparency is formed, i.e. the frequency region of Fourier transform; f – focal length of the lens.

As seen from the figure, at the left the transparency with the source image is lighted by a parallel bundle of coherent rays. Once the rays have passed through the transparency and lens,

линзу, на поверхности W оказывается сформированным результат преобразования Фурье. Как входная, так и выходная информация представлены здесь в виде изображений, т.е. в виде двумерных информационных массивов. Поэтому можно заключить, что в данном случае линза выполняет двумерное преобразование Фурье.

the result of Fourier transform appears generated on the surface W. Both input and output information is presented here as images, i.e. as 2D information arrays. Therefore, one may conclude that in this case the lens performs the two-dimensional Fourier transform.

Рис. 3.1. Схема оптического преобразователя Фурье.

Fig. 3.1. A scheme of optical Fourier transformer.

Если на транспаранте записан Фурье-образ некоторого изображения, то линза выполнит обратное преобразование Фурье, т. е. на поверхности W окажется восстановленным это „ первичное” изображение.

На рис. 3.1 транспарант расположен практически вплотную к линзе. Здесь поверхность формирования Фурье-образа W оказывается сферической, с радиусом, равным фокусному расстоянию линзы. Если отодвинуть транспарант влево на фокусное расстояние (от линзы), то поверхность формирования Фурье-образа превратится в плоскость, совпадающую с предыдущим случаем в точке на оптической оси.

Пример того, как выглядит двумерное преобразование Фурье в оптическом вычислителе, даёт рис. 3.2.

Здесь на транспаранте T выделены четыре области (A, B, C, D), заполненные группами параллельных черно-белых полос. Линза расположена на расстоянии f от транспаранта, благодаря чему поверхность W имеет вид плоскости.

If the Fourier-pattern of some image is recrded on the transparency the lens will perform the inverse Fourier transform, i.e. the initial image will be restored on the surface W.

On Fig. 3.1 the transparency is located practically right against the lens. Here, the surface of Fourier-pattern formation W appears spherical, with the radius being equal to the focal length of the lens. With moving the transparency to the left within the focal length (from the lens) the surface of Fourier-pattern formation will turn into the plane coinciding with that of the previous case in the point at the optical axis.

Fig. 3.2 illustrates the 2D Fourier transform in the optical calculator.

Here, the transparency T is divided into four areas (A, B, C, D) filled with parallel black-and-white stripes. The lens is located at a distance f from the transparency due to which the surface W has a shape of a plane.

Рис. 3.2. Двумерное преобразование Фурье.

Fig. 3.2. 2D Fourier transform.

Каждая из полос имеет оптическую плотность, изменяющуюся (поперёк полосы) по синусоидальному закону от некоторого минимума до некоторого максимума. В таком случае каждая из четырёх областей будет содержать сигнал определённой пространственной частоты. Если транспарант осветить параллельным пучком когерентных лучей, группы полос подвергнутся Фурье-преобразованию, и на поверхности W, т.е. в частотной области, сформируются результирующие сигналы в виде небольших световых пятен.

Определённая пространственная частота отображается в частотной области в виде двух световых пятен, расположенных симметрично, относительно точки начала частотных координат.

Плоскость W условно делится на две полуплоскости, на одной из которых располагаются действительные, а на другой – мнимые величины. Каждой пространственной частоте исходного изображения на этой плоскости соответствуют две точки – одна в действительной и другая – в мнимой области.

Each stripe has the optical density varying (across the stripe) in accordance with the sinusoidal law from some minimum to some maximum. At that, each of four areas will contain a signal of a certain spatial frequency. If the transparency is lighted by a parallel bundle of coherent rays the groups of stripes will be Fourier-transformed, and on the surface W, i.e. in the frequency region, the resulting signals in the form of small light spots will be generated.

The certain spatial frequency is mapped in the frequency region as two light spots located symmetrically as related to the origin of frequency coordinates.

The plane W is conditionally divided into two half-planes, one containing real values and the other imaginary ones. On this plane the two points, one in the real area and another in imaginary one, correspond to each spatial frequency of the source image.

Если провести через начало координат прямую, параллельную исходным полосам, то пятна расположатся с двух сторон от неё на перпендикулярах, восстановленных из центра. Например, полосам области A соответствуют пятна a и a', области B – пятна b и b' и т.д.

Чем выше пространственная частота, тем на больших расстояниях от центра располагаются соответствующие световые пятна.

Расположение пятен в частотной области отражает ориентацию полос, но безразлично (инвариантно) к размещению полос на транспаранте (т.е. пятна не изменяются и не смещаются при поперечном перемещении полос). Однако это не значит, что Фурье-образ не содержит всей информации об исходном изображении. Дело в том, что информация о местоположении полос закодирована в фазовой картине волн, формирующих Фурье-образ, а этого нельзя отобразить на нашем рисунке.

Точное расположение полос нельзя было бы зафиксировать и на фотослое, установленном в плоскости W, так как в обычной фотографии почернение фотоэмульсии фиксирует интенсивность светового потока, но не фазу световых колебаний. Если же воспользоваться принципами голографии, т.е. кроме Фурье-образа направить на плоскость W немодулированный (опорный) пучок таких же когерентных лучей, какие освещают транспарант, то биения между ними создадут сложную картину интерференции, несущую информацию о фазах волн. Такой приём как раз и позволяет запечатлевать на фотослое информацию не только об оптических плотностях полос, но и о поперечном смещении полос относительно оси системы, т.е. об их фазах.

Дата добавления: 2015-06-04