Пространственная система произвольно расположенных сил. 1 страница

Задание С 4. Равновесие сил, произвольно расположенных в пространстве

Задание С 4 – на равновесие пространственной произвольной системы сил. Схемы конструкций представлены на рис. 48 – 57 (вар. 1 – 60) – стр. 66– 75. В зависимости от типа конструкции задание формулируется отдельно.

Задание 1. (к вариантам 1 – 10)

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ = 3ℓ, ВС = 2ℓ закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В – цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС' (вар. 1 – 10). На плиту действуют: пара сил с моментом М = 6 кН·м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. 7. При этом силы ₁ и ₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ХУ, сила ₂ – в плоскости, параллельной ХZ, сила ₃ – в плоскости, параллельной YZ. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах сторон плиты.

Таблица 7.

Определить реакции связей в точках А,В и С. При подсчётах принять ℓ = 2 м.

Указания: При решении задания следует учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляющие (по всем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси подшипника. При вычислении момента силы удобно её разложить на две составляющие ' и ", параллельные координатным осям (или на три): тогда по теореме Вариньона М_х () = М_х ( ') + М_х ( ") и т. д.

Задание 2. (к вариантам 11 – 20)

Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестки соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 (вар. 11 – 18) или же двумя подшипниками в точках А и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2 (вар. 19 – 20); все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты Р₁ = 5 кН, вес меньшей плиты Р₂ = 3 кН. Каждая из плит расположена парал­лельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху — горизон­тальная). На плиты действуют пара сил с моментом М = 4 кН·м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направле­ния и точки приложения указаны в табл. 8; при этом силы ₁ и ₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ХУ, сила ₂ – в плоскости, параллельной ХZ, сила ₃ – в плоскости, параллельной YZ. Точки приложения сил (D, E, H, К) находятся в углах или в серединах сторон плит.

Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня (стержней). При подсчетах принять а = 2 м.

Указания: При решении задания следует учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляющие (по всем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси подшипника. Реакция невесомого стержня всегда направлена вдоль стержня. При вычислении момента силы удобно её разложить на две составляющие ' и ", параллельные координатным осям (или на три): тогда по теореме Вариньона М_х () = М_х ( ') + М_х ( ") и т. д.

Таблица 8.

Задание 3. (к вариантам 21 – 35)

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D, Е, К, F, L(вар. 21 – 35). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах А, В, С, D, Е, К, F, Lпрямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и долж­ны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р = 200 Н; во втором узле приложена сила Q = 100 Н. Сила обра­зует с положительными направлениями координатных осей х, у, z углы, равные соответственно α₁ = 45°, β₁ = 60°, γ₁ = 60°, а сила – углы α₂ = 60°, β₂ = 45°, γ₂ = 60°; направления осей х, у, z соответствует правой декартовой системе отсчёта.

Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху, — квадраты. Диагонали других боковых граней образуют с плоскостью ху угол φ = 60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол θ = 51°. Определить усилия в стержнях, указанных в табл. 9.

Таблица 9.

№ варианта	0	1	2	3	4
Узлы	А, В	L, E	D, F	B, E	D, B
Стержни	DL, DE, DF, CF,CK, BK	BK, CK, CF, DF, AK, DE	AD, AE,ED, EK, KB, KC	DA, DL, DC, FC, CK, AK	LE, LF, LD, CF, CK, AK
№ варианта	5	6	7	8	9
Узлы	B, L	C, L	D, E	B, L	B, E
Стержни	AE, AC, AD, DF, CF, KF	BA, BF, BK, AE, DE, DA	LF, FC, LD,KB, KC, AB	EA, ED, KF, KC, CF, FK	FC, CK, FK, LD, LA, DC

Указания: Система отсчёта вводится решающим самостоятельно. Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба так, чтобы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует пронумеро­вать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, и т. д.). Реакция невесомого стержня всегда направлена вдоль стержня. При вычислении момента силы удобно её разложить на две составляющие ' и ", параллельные координатным осям (или на три): тогда по теореме Вариньона М_х () = М_х ( ') + М_х ( ") и т. д.

Задание 4. (к вариантам 35 – 40)

Однородное тело весом под действием наложенных на него связей и приложенных к нему систем сил находится в равновесии. Пренебрегая трением в местах сочленений, определить реакции опор А и В, а также усилия в стержнях. Вес стержней не учитывать. Необходимые для расчёта данные приводятся в таблице 10.

Таблица 10.

№ варианта	G, Н	Р1, Н	Р2, Н	М1 Н·м	М2 Н·м	а м	b м	с м	α, град	β, град
0	300	400	-	200	-	0,4	0,6	0,2	60	30
1	200	400	200	400	200	0,2	0,4	0,6	30	60
2	400	-	100	-	300	0,8	0,2	0,4	-	30
3	600	200	-	200	-	0,6	0,8	0,6	60	45
4	300	100	400	200	400	0,4	0,6	0,2	45	30
5	200	200	-	300	-	0,6	0,4	0,2	30	60
6	400	-	400	-	200	0,2	0,8	0,4	-	45
7	600	200	400	200	600	0,8	0,6	0,2	30	60
8	400	300	-	400	-	0,4	0,6	0,4	60	45
9	200	-	200	-	400	0,8	0,2	0,4	-	60

Задание 5: (к вариантам 41 - 60)

Схемы конструкций представлены на рис. 54 – 57 (вар. 41 – 60). Найти реакции опор конструкции. Необходимые для расчёта данные приведены в таблице 11.

Таблица 11

№ варианта	Q, Н	Т, Н	G, Н	а см	b см	с см	R см	r см
41	2	-	20	20	30	10	15	5
42	3	-	2	30	20	40	15	10
43	1	4	2	40	30	20	20	10
44	-	3	1	30	10	5	18	6
45	4	6	3	20	40	15	20	10
46	1	4	2	30	40	20	20	10
47	-	2	1	20	30	15	15	10
48	4	-	1	25	20	8	15	10
49	10	-	5	40	30	20	25	15
50	-	2	1	30	90	20	30	10
51	3	-	2	60	20	40	20	5
52	4	-	2	50	30	-	-	-
53	2	-	1	15	10	20	20	5
54	6	-	2	60	40	60	-	-
55	4	-	-	60	40	20	-	-
56	2	-	-	40	60	30	-	-
57	-	-	4	40	30	50	-	-
58	10	-	-	50	30	50	-	-
59	-	4	3	15	20	15	15	10
60	5	-	-	40	40	10	-	-

Рисунок 48

Рисунок 49

Рисунок 50

Рисунок 51

Рисунок 52

Рисунок 53

Рисунок 54

Рисунок 55

Рисунок 56

Рисунок 57

Пример 1 (к вариантам 1-10)

Однородная прямоугольная плита весом со сторонами АВ = 3L, ВС = 2 L закреплена в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС` (рис. 1)

На плиту действуют: пара сил (лежащая в плоскости плиты) с моментом М; сила – в плоскости, параллельной YZ (точка приложения –H); сила – в плоскости параллельной XZ (точка приложения Е). Точки приложения сил (Е, Н) находятся в серединах сторон плиты.

Дано: М = 6 кН·м; F₁ = 2 кН; F₂ = 4 кН; L = 1 м; Р = 8 кН; АВ = 3L м; ВС = 2L м.

Определить реакции связей в точках А, В и стержня СС`.

Решение:

1. Рассмотрим равновесие плиты. На неё действуют: пара сил (лежащая в плоскости плиты) с моментом М; сила - в плоскости, параллельной YZ (точка приложения - H) и её составляющие:

F_1y = F₁·sin 60⁰ = 2· = кН;

F_1z = F₁·cos 60⁰ = 2· = 1 кН.

Сила - в плоскости, параллельной XZ (точка приложения Е); ||AZ; вес плиты - на пересечении диагоналей (в центре тяжести прямоугольной плиты), а также реакции связей: реакцию сферического шарнира А разлагаем на три составляющие - , , ; реакцию цилиндрического шарнира (подшипника) В – на две составляющие , (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направляем вдоль стержня СС`, предполагая, что он растянут и разлагаем на две составляющие: S<sub>Z</sub> = S·sin 60<sup>0</sup>; S<sub>у</sub> = S·cos 60<sup>o</sup> (так как стержень CC` в плоскости, параллельной уz) - рис. 2.

2. Для полученной пространственной произвольной системы сил (рис.2) для определения шести неизвестных реакций опор - , , , , , -можно составить шесть уравнений равновесия:

1-ый способ решения:

∑ F_AX = 0; Х_{А +} Х_В = 0 (1)

∑ F_AY = 0; У_A – F_1Y – S · cоs 60⁰ = 0 (2)

∑ F_AZ = 0; Z_A + Z_B – Р + F₂ – F_1Z + S · sin 60⁰ = 0 (3)

∑ М_AX ( _K) = 0; - 1,5L·F_1Z – 1,5L·P + 3L·Z_B + 3L·S·sin 60⁰ = 0 (4)

∑ М_AY ( _K) = 0; L·F₂ - L·P – 2L·F_1Z + 2L·S·sin 60⁰ = 0 (5)

∑ M_AZ( _K) = 0; М – 3L· X_B + 2L · F_1Y + 2L · S · cos 60⁰ = 0 (6)

Из уравнения 5) вычисляем реакцию :

= = = 3,47 кH;

Представляя найденную в уравнение 4) определяем численное значение реакции :

= = = 1,49 кH;

Подставляя найденную в уравнение 6) находим численные значения реакции :

= = = 4,31 кН;

Из уравнения 2),подставляя найденную , определяем численное значение реакции :

= F_1Y + S·cos 60⁰ = +3,47· = 3,47 кН;

Из уравнения 1),учитывая найденную => = - Х_В= - 4,31 кН;

Подставляя найденные , из уравнения 3) вычисляем реакцию _:

= -Z_B + P – F₂ + F_1Z – S · sin 60⁰ = - 1,49 + 8 – 4 + 1 – 3,47·( /2) = 0,5 кН;

Проверка:

∑F_BX1 = 0; X_A + X_B = 0;

4,31 – 4,31 = 0;

0 ≡ 0,

∑F_BY1=0; Y_A – F_1Y – S·cos60⁰=0;

3,47 – – 3,47· =0;

3,47– 3,47=0;

0 ≡ 0;

∑F_BZ1=0; Z_A+Z_B – Р+F₂ – F_1Z+S·sin60⁰=0;

0,5+1,49-8+4 – 1+3,47·( /2)=0;

0 ≡ 0;

2-й способ решения:

Вводим систему отсчета BX₁Y₁Z₁ (рис.2):

∑ _BX1 = 0; X_A+X_B=0; (1^/)

∑ _BY1 = 0; Y_A – F_1Y – S·cos60⁰=0; (2^/)

∑ _BZ1 = 0; Z_A+Z_B – P+F₂ – F_1Z+S·sin60⁰=0; (3^/)

∑М_BX1( _K)=0; – 3L·Z_A – 3L·F₂+1,5L·F_1Z+1,5L·P=0; (4^/)

∑М_BY1( _K)=0; – L·P+L·F₂ – 2L·F_1Z+2L·S·sin60⁰=0; (5^/)

∑М_BZ1( _K)=0; 3L·X_A+M+2L·F_1Y+2L·S·cos60⁰=0; (6^/)

Из уравнения 4^/) вычисляем :

= = =0,5 кН;

Из уравнения 5^/) определяем численное значение реакции стержня СС^/:

= = = 3,47 кН;

Дата добавления: 2015-06-04