Аксонометрия

Когда необходимо получить одно изображение изделия, обладающее наглядностью и обратимостью, выполняют аксонометрический рисунок или аксонометрию. Аксонометрия в переводе с древнегреческого, означает осеизмерение.

Аксонометрическую проекцию изделия получают параллельным проецированием на некоторую плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций вместе с системой прямоугольных координат, к которой данный предмет отнесен, при этом должны выполняться следующие условия:

1. Изображаемый в аксонометрии предмет, как было сказано выше, жестко скреплен с системой координат, координатные оси Х, Y и Z располагают вдоль основных измерений изделия.

2. Направление проецирования не должно совпадать не с одной из координатных осей и недолжно быть параллельно ни одной из координатных плоскостей.

На рис. 128 изображена призма и координатные оси направленные вдоль основных ее измерений. Возьмем три плоскости α, β и γ на которые проецируется призма.

Плоскость α расположена параллельно плоскости XZ. Направление проецирования А →параллельно оси y. Проекция на эту плоскость есть ортогональная проекция, ребро призмы расположенное по оси y проецируется в точку. Таким образом, исчезает одно измерение.

Плоскость β расположена также параллельно плоскости XZ. Направление проецирования Б →, не совпадает ни с одной осью, поэтому на плоскость β проецируются все ребра призмы.

Плоскость γ не параллельна ни одной из координатных плоскостей. Направление проецирования Г →, не совпадает ни с одной осью, поэтому на плоскость γ проецируются все ребра призмы.

Рис. 128

Аксонометрическое проецирование – это параллельное проецирование, поэтому все свойства параллельного проецирования будут справедливы и для аксонометрического.

Проекции координатных осей, жестко связанных с геометрическим телом, называют аксонометрическими осями.

Возьмем в пространстве три взаимно перпендикулярные оси X, Y, Z и отложим на них единичные отрезки e, е = e_х = е_y = e_z.

Найдем проекции координатных осей и единичных отрезков на плоскость γ. В результате получим. е ≠ e′_х ≠ е′_y ≠ e′_z (рис. 129).Таким образом, при проецировании геометрического тела на аксонометрическую плоскость мы получаем искаженное изображение. Искажение геометрического тела будет характеризоваться отношениями аксонометрических размеров к истинным:

k_x = e′_х / e_х, k_y = e′_y / e_y, k_z = e′_z / e_z.

Коэффициентами искажения называются отвлеченные числа, показывающие, в каком отношении меняются размеры геометрических тел при аксонометрическом проецировании.

Рис. 129

Теорема немецкого геометра Польке гласит:

Любые три отрезка на плоскости, выходящие из одной точки, могут представлять собой проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве.

Согласно данной теореме можно сделать вывод, что для данного геометрического тела можно построить бесчисленное множество аксонометрических проекций.

Однако коэффициенты искажения связанны между собой формулой:

k ²_x +k ²_y +k ²_z = 2 + ctg ² φ *

где φ – угол наклона проецирующих лучей к плоскости аксонометрических проекций.

Если φ = 90º то получим прямоугольную аксонометрию,

Если φ ≠ 90º то получим косоугольную аксонометрию.

В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения все аксонометрии делят на:

изометрию, если k_x = k_y = k_z;

диметрию, если k_x = k_z ≠ k_y;

триметрию, если k_x ≠ k_y ≠ k_z.

Для прямоугольной изометрии формула * примет вид

k ²_x +k ²_y +k ²_z = 2**, т. к. ctg ² φ =0.

Поскольку коэффициенты равны, формулу ** можно преобразовать к виду 3k ²_х = 2 и найти коэффициенты искажения k _х = k_y = k_z = √2/3 = 0,82. Коэффициенты искажения, вычисленные по формуле * называются действительными, они, как правило, представляют собой дробные числа.

На практике их обычно заменяют приведенными коэффициентами искажения, которые получают умножением действительных коэффициентов на определенное дробное число таким образом, чтобы один из коэффициентов стал равным единицы.

Не смотря на то, что можно построить множество аксонометрических проекций, на практике применяют лишь некоторые, предусмотренные стандартом ГОСТ 2.317 – 69, имеющие наименьший коэффициент искажения и достаточную наглядность.

Дата добавления: 2015-06-04