Для одного точечного заряда внутри поверхности

Элементарное доказательство

Теорема Гаусса как следствие закона Кулона

Элементарное доказательство строится на двух шагах: доказательстве теоремы для случая одного точечного заряда с использованием геометрических соображений, а затем применении принципа суперпозиции, вследствие которого теорема оказывается доказана для произвольного количества точечных зарядов (а значит и в общем случае).

Исходим из закона Кулона:

,

где — единичный вектор в направлении радиус-вектора, проведенного из заряда (куда мы поместили начало координат) в точку, где измеряется напряженность поля, r — модуль вектора r, то есть расстояние от заряда до этой точки. (В этом параграфе будем пользоваться только системой СГС, то есть кулоновская константа равна единице. Для перехода в систему СИ достаточно просто добавить множитель. Так же и переход к любой другой системе единиц будет отличаться только кулоновской константой.)

Обозначим поверхность, через которую надо вычислить поток E, буквой S. Полагаем, что наш заряд q находится внутри этой поверхности.

Окружим заряд еще одной поверхностью — сферой S₀ с центром в заряде и радиусом R₀ столь малым, что она целиком находится внутри поверхности S. Вычислим поток через S₀:

Выберем малый (бесконечно малый, малый не только по величине, но и «компактно», то есть так, чтобы он, скажем, мог быть покрыт круговым конусом также малого телесного угла), телесный угол с вершиной в заряде.

Докажем, что поток через площадку поверхности S, вырезаемую этим телесным углом, равен потоку через площадку, вырезаемую им же из сферы S₀. Для этого покажем, что

1. — поток через площадку, вырезаемую телесным углом из поверхности S, равен потоку через площадку вырезаемую телесным углом из любой плоскости, перпендикулярной лучам, лежащим внутри, которые при бесконечно малом телесном угле почти параллельны, отличаясь по направлению бесконечно мало, значит площадка будет одновременно перпендикулярна (говоря строже — почти перпендикулярна) всем им одновременно.

2. - в пределах телесного угла, поток через площадку, перпендикулярную лучам, равен потоку через площадку сферы.

Первое доказывается замечанием о том, что поток через малую площадку dS может быть представлен как, где — проекция вектора dS на направление вектора E, то есть площадь проекции данной площадки на плоскость, перпендикулярную E. А применительно к нашему случаю это и означает равенство и.

Второе видно из соображений подобия и закона Кулона (обозначив r расстояние от заряда до пересечения c S, видим, что отношение площадей и равно, в то время как, то есть обратному числу, в результате чего их произведения одинаковы, а это и есть потоки и, равенство которых надо было доказать.

В случае, если пересекает S неоднократно (что возможно, если последняя достаточно сложна), все эти рассуждения, если говорить коротко, повторяются столько раз, сколько пересечений имеется, и доказывается равенство по абсолютной величине потока через каждый такой элемент поверхности S. А учитывая знаки при сложении (они, очевидно, чередуются; всего же количество пересечений должно оказаться нечетным), итоговый ответ оказывается тем же, что и для случая единственного пересечения.

А поскольку равенство этих потоков выполняется для любого малого, то есть для каждого соответственного элемента S и S₀, между которыми устанавливается однозначное соответствие, причем таким образом можно разбить всю сферу S₀ без остатка на такие элементы, то равенство верно и для потоков через полные поверхности (которые суть просто суммы потоков через описанные элементы поверхностей S и S₀). (Поскольку поверхность S замкнутая, каждому элементу на сфере находится соответствующий элемент на S — или нечетное количество элементов, как было описано выше, которые можно объединить, так как учтен поток через их все).

Итак, доказали, что для одного заряда q внутри замкнутой поверхности S поток через нее

Дата добавления: 2015-06-04