Электрические цепи с нелинейными элементами

Краткая характеристика свойств линейных электрических цепей

В линейных цепях параметры R, L и С неизменны.

Как известно, основным свойством линейных цепей является применимость к ним принципа наложения, гласящего, что несколько источников ЭДС вызывают ток, который равен сумме токов, вызываемых каждым источником в отдельности. Пусть имеется линейная цепь, состоящая из источника и и активного сопротивления R. Ток в этой цепи определяется выражением

Если на эту цепь действуют два последовательно включенных источника и₁ и и₂, то общий ток в цепи будет:

i = a₁ (и₁ + и₂) = а₁ и₁+ а₁ и₂ = i₁ + i₂. (1.147)

Здесь i₁ и i ₂ токи, вызываемые соответственно ЭДС и₁ и и₂. Иногда даже говорят, что линейными цепями являются такие цепи, к которым применим принцип наложения, т. е. применимость принципа наложения является определением линейной цепи. Принцип наложения является основой общих методов решения многочисленных задач теории линейных электрических цепей.

Процессы в линейных электрических цепях описываются линейными алгебраическими (для цепей, состоящих только из активных сопротивлений) или дифференциальными (для цепей с реактивными элементами) уравнениями, в которые искомые функции (ток или напряжение) и их производные входят в первой степени и которые не содержат коэффициентов, зависящих от этих функций.

Роль линейных цепей в радиотехнике и электротехнике чрезвычайно велика. В современных радиотехнических системах и комплексах существенную, если не преобладающую, часть составляют такие устройства и элементы, как линии передачи электрической энергии и сигналов, электрические фильтры, колебательные системы, воздушные трансформаторы и воздушные дроссели, конденсаторы и другие, являющиеся линейными цепями или элементами. К линейным цепям относятся также цепи, которые имеют параметры, изменяющиеся во времени по заранее заданному закону R(t), L(t), C(t). Такие цепи называются параметрическими, они находят применение в радиотехнике в качестве параметрических генераторов и усилителей. В параметрических цепях R(t), L(t) и C(t) не зависят от токов и напряжений, действующих в цепи.

Значение нелинейных цепей в современной электро- и радиотехнике

Линейные электрические цепи позволяют производить передачу сигналов посредством линий передач, фильтрацию и селекцию сигналов фильтрами, ослабление сигналов при помощи делителей напряжения, временную задержку сигналов при помощи линий задержки и другие преобразования. Однако в электро- и радиотехнике имеется необходимость производить такие преобразования токов и напряжений (сигналов), какие не могут быть осуществлены при помощи линейных цепей. К таким преобразованиям относятся:

а) преобразование переменного тока в постоянный (выпрямление);

б) преобразование постоянного тока в переменный (генерирование синусоидальных и релаксационных колебаний);

в) модуляция (изменение амплитуды, частоты или фазы колебаний в соответствии с низкочастотным полезным сигналом);

г) демодуляция или детектирование (выделение низкочастотного полезного сигнала из модулированных высокочастотных колебаний);

д) усиление мощности, напряжения и тока;

е) умножение и деление частоты;

ж) стабилизация напряжения и тока;

з) преобразование формы напряжения и тока;

и) изменение несущей частоты сигнала с сохранением закона модуляции;

к) трансформация постоянного тока;

л) получение триггерного эффекта (эффекта резкого, скачкообразного изменения выходного сигнала при плавном изменении входного сигнала);

м) построение математических функций.

Эти, а также многие другие преобразования сигналов невозможно осуществить с помощью одних только линейных электрических цепей. Их можно осуществить лишь с помощью электрических цепей, содержащих нелинейные элементы.

Из вышеизложенного видно, как важно изучение нелинейных цепей. Они играют в современной радиотехнике не менее значительную роль, чем линейные цепи.

Особенности нелинейных электрических цепей

Процессы в нелинейных электрических цепях описываются нелинейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями, т. е. уравнениями, которые содержат нелинейные функции тока, напряжения и их производных, например ток и напряжение в степенях выше первой с коэффициентами, зависящими от тока или напряжения.

Цепь называется нелинейной, если она содержит хотя бы один нелинейный элемент. Параметры нелинейных элементов R, L и С зависят от токов и напряжений, действующих в цепи.

Основная особенность нелинейных цепей заключается в том, что к ним не применим принцип наложения. Рассмотрим это на примере нелинейного уравнения, в котором ток пропорционален квадрату напряжения:

i = а₂и².

Если в цепи действуют два последовательно соединенных источника, то токи, вызываемые каждым из них в отдельности, соответственно равны:

i₁ = а₂и₁²,

i₂ = а₂и₂²,

Ток при одновременном действии обоих источников определяется выражением

i = а₂ (u₁ + u₂)²

которое показывает, что результирующий ток не равен сумме токов i₁, и i ₂.

Второй особенностью нелинейных цепей является то, что, в отличие от линейных стационарных цепей, отклик на синусоидальное воздействие будет несинусоидальным, т. е. в выходном сигнале появляются гармоники других частот, которых не содержал входной сигнал (за исключением нелинейных активных сопротивлений с большой тепловой инерционностью).

Если в линейных электрических цепях зависимость между током и напряжением (вольтамперная характеристика) представляет при постоянстве частоты прямую линию (рис. 1.65), то в нелинейных цепях зависимость между током и напряжением является нелинейной, т. е. графическое изображение вольтамперной характеристики представляет собой кривую или ломаную линию (рис. 1.66). Другими словами, сопротивление (активное, индуктивное или емкостное) нелинейного элемента меняется при изменении тока и напряжения:

Z_H=f(i,u). (1.148)

Классификация нелинейных элементов

Все нелинейные элементы, с которыми приходится иметь дело в электротехнике и радиотехнике, можно разделить на три группы:

1) Нелинейные активные сопротивления, например вакуумные и полупроводниковые диоды и триоды. Эта группа в настоящее время является самой многочисленной.

2) Нелинейные индуктивные сопротивления, или нелинейные индуктивности, которыми обладают все катушки и трансформаторы с ферромагнитными сердечниками.

3) Нелинейные емкостные сопротивления (нелинейные емкости). Примером нелинейной емкости служит конденсатор с диэлектриком из сегнетоэлектрика, который называется варикондом (или варикапом).

Нелинейные элементы в каждой из этих групп в свою очередь можно разделить на два класса:

1) Неуправляемые нелинейные элементы, которые всегда можно представить в виде двухполюсника, ток через который зависит только от напряжения, приложенного к его зажимам. Неуправляемый элемент характеризуется только одной вольтамперной характеристикой (рис. 1.66). Примером неуправляемого нелинейного сопротивления является вакуумный или полупроводниковый диод. Неуправляемые нелинейные активные сопротивления по признаку тепловой инерционности могут быть разделены на две группы:

1. а) инерционные, примером которых являются лампы накаливания и термисторы. Для этих элементов зависимость между действующими значениями тока и напряжения нелинейная, а в пределах одного периода с достаточной для практики точностью можно считать зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения линейной, так как из-за тепловой инерционности за время периода сопротивления этих элементов не меняются;

1. б) безынерционные, примерами которых являются ламповые и полупроводниковые диоды. Здесь характеристики нелинейны как для действующих, так и для мгновенных токов и напряжений.

2) Управляемые нелинейные элементы (обычно являются многополюсниками). Ток в главной цепи такого элемента зависит не только от напряжения, приложенного к главной цепи, но и от других параметров (управляющих факторов). Управляющие факторы могут быть электрическими и неэлектрическими. Примерами управляемых нелинейных элементов с электрическим управляющим фактором являются многоэлектродные вакуумные лампы, магнитные и диэлектрические усилители. Примером управляемого нелинейного сопротивления с неэлектрическим управляющим фактором является фотоэлемент, величина тока через который зависит от величины освещенности. Управляемые нелинейные элементы характеризуются семейством вольтамперных характеристик (рис. 1.67).

Все нелинейные элементы по виду вольтамперной характеристики можно разделить на две группы:

1) Нелинейные элементы с симметричной характеристикой. К ним относятся такие нелинейные элементы, у которых вольтамперная характеристика не зависит от направления токов и напряжений (лампы накаливания, термосопротивления); к ним приближаются катушки с сердечником из магнитомягкого материала.

2) Нелинейные элементы с несимметричной характеристикой — элементы, у которых вольтамперные характеристики различны при различных направлениях тока и напряжения (электронные лампы, транзисторы).

На этом закончим классификацию нелинейных цепей, заметив, что, кроме названных, существуют еще весьма многочисленные признаки, по которым может быть произведена классификация нелинейных элементов электрических цепей.

В заключение этой части раздела следует отметить, что деление электрических цепей на линейные и нелинейные, строго говоря, несколько условно. Дело в том, что все реальные элементы электрических цепей в силу физических процессов, происходящих в них, всегда обладают некоторой нелинейностью. Поэтому элемент цепи может считаться линейным или нелинейным в зависимости от степени нелинейности и той задачи, которая ставится при рассмотрении данной цепи. Как уже отмечалось выше, наиболее многочисленными и широко применяемыми нелинейными элементами являются нелинейные активные сопротивления, которые и будут в основном рассматриваться при дальнейшем изложении.

Сопротивление нелинейного активного элемента постоянному и переменному току

Одной из особенностей нелинейных активных элементов является то, что сопротивление нелинейного активного элемента имеет различную величину для постоянного и переменного тока. Для линейных элементов такого различия не наблюдается (если исключить из рассмотрения диапазон сверхвысоких частот). Рассмотрим подробнее понятия сопротивлений постоянному и переменному току для нелинейного активного элемента. Пусть вольтамперная характеристика имеет вид, изображенный на рис. 1.68.

Сопротивлением постоянному току называется отношение напряжения к току в данной точке вольтамперной характеристики, т. е.

Сопротивление постоянному току изменяется с изменением тока или напряжения, поэтому в общем случае

R1 ≠ R2

Сопротивлением переменному току называется отношение приращения напряжения к приращению тока, или другими словами, производная от напряжения по току в данной точке волътамперной характеристики:

Сопротивление переменному току называется также дифференциальным (а иногда динамическим) сопротивлением. Оно, вообще говоря, меняется с изменением тока или напряжения, но остается неизменным на линейных участках характеристики.

Сопротивление переменному току является отрицательным на падающих участках вольтамперной характеристики (рис. 1.69). Физически отрицательное сопротивление означает то, что нелинейный элемент не поглощает электрическую энергию, а отдает ее в цепь за счет источников электрической энергии, которые, как правило, всегда являются составной частью нелинейных цепей.

О методах расчета нелинейных электрических цепей

Расчет любой электрической цепи, линейной или нелинейной, сводится либо к нахождению токов и напряжений по заданным параметрам цепи и источников (анализ), либо к определению параметров цепи по заданным характеристикам (синтез).

Для расчета линейных электрических цепей созданы многочисленные методы расчета (метод контурных токов, метод узловых потенциалов, спектральный метод, операторный метод и другие), которые позволяют рассчитать любую цепь в стационарном или переходном режиме. Расчет нелинейных электрических цепей обычно бывает более затруднителен, что объясняется рядом обстоятельств, которые в основном можно свести к следующим:

1) К нелинейным цепям не применим принцип наложения.

2) Графическое изображение вольтамперной характеристики любого линейного элемента представляет собой прямую линию, а аналитическое выражение ее - линейную функцию

i = а₁ и,

т. е. линейные элементы имеют, по существу, одни вольтамперные характеристики.

Вольтамперные характеристики нелинейных элементов в подавляющем большинстве случаев определяются экспериментально и задаются в виде графиков, представляющих собой кривые линии, аналитические выражения которых неизвестны, причем разные виды нелинейных элементов имеют разные характеристики. Многообразие характеристик обусловливает трудность расчета нелинейных электрических цепей, так как, в принципе, можно было бы создать свои достаточно мощные методы расчета для нелинейных цепей с одним типом характеристики, как это сделано для линейных цепей, элементы которых можно рассматривать как частный случай нелинейной цепи. Многообразие характеристик неизбежно вызывает и многообразие методов расчета нелинейных электрических цепей.

3) Третья трудность состоит в том, что при наличии экспериментально снятой характеристики, аналитическое выражение которой неизвестно, для расчета нелинейной цепи можно применять только графические методы (с успехом применимые для расчета линейных цепей), которые не всегда позволяют сделать общие выводы. Эта трудность может быть преодолена путем аппроксимации экспериментальной характеристики аналитическим выражением, т. е. приближенной заменой действительной зависимости тока от напряжения аналитической функцией. Этот прием применяется, по существу, и для линейных цепей, так как вся теория линейных цепей

основана на замене {аппроксимации) действительных характеристик элементов цепи {всегда нелинейных) линейными функциями.

4) Наконец, четвертая и, пожалуй, самая существенная трудность заключается в том, что при расчете нелинейных электрических цепей приходится учитывать явления, которые свойственны только нелинейным цепям и никогда не возникают в линейных электрических цепях. Например, при любом расчете нелинейных цепей необходимо проверять полученный режим на устойчивость, т. е. на возможность сохранения данного режима при незначительных отклонениях величин тока, напряжения или параметров данной цепи от рассчитанных значений.

На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что в настоящее время существенно много различных методов расчета нелинейных электрических цепей и пока еще не решена задача создания единого общего метода.

Все многообразие методов расчета нелинейных электрических цепей можно свести в три большие группы:

а) графические методы, в виде геометрических построений на основе заданных характеристик. Графические методы обладают наглядностью и дают вполне удовлетворительную точность решения, которая в основном зависит от стабильности характеристики нелинейного элемента и тщательности выполнения графических работ;

б) аналитические методы, основанные на том, что характеристика нелинейного элемента выражается приближенной аналитической функцией. Аналитический метод обычно менее нагляден, но с его помощью удается получить общие расчетные зависимости;

в) численные методы, основаны на приближенных способах решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Они имеют малую наглядность, но позволяют с помощью вычислительных машин решить любую конкретную задачу по расчету нелинейных цепей с высокой точностью.

Кроме того, в практике расчета нелинейных цепей широко используются комбинированные методы, например графоаналитические.

Обилие методов объясняется также тем, что каждый метод обычно применим только к ограниченному кругу задач. В дальнейшем изложении мы ознакомимся с некоторыми наиболее употребительными методами.

При расчете конкретных нелинейных цепей следует иметь в виду, что характеристики нелинейных элементов различны для различных образцов одного и того же вида и имеют весьма существенный разброс (обычно 10 + 20% и более). Поэтому простота и наглядность решения часто имеют гораздо большее значение, чем точность аппроксимации исходных данных задачи.

Расчет нелинейных цепей постоянного тока с одним нелинейным сопротивлением

Простейшая цепь с одним нелинейным элементом может быть представлена в виде, изображенном на рис. 1.70. Найдем ток и напряжение на нелинейном элементе.

Для расчета этой цепи составим уравнение по второму закону Кирхгофа, справедливому как для линейных, так и для нелинейных цепей:

Е= IR + U_H.

Из этого уравнения находим ток:

С другой стороны, ток в нелинейном элементе в зависимости от напряжения на его зажимах определяется вольтамперной характеристикой нелинейного элемента:

I=f(U_H). (1.151)

В результате имеем систему из двух уравнений, в которой два неизвестных: I и U_H. Если характеристика нелинейного элемента задана в виде функции

I = aU²_H, (1.152)

то данную систему можно решить аналитически, для чего необходимо выражение (1.152) подставить в уравнение (1.150):

В случае задания характеристики сложной функцией решение может оказаться выполнимым только приближенно с помощью электронных вычислительных машин.

В подавляющем числе случаев характеристика нелинейного элемента задается в виде экспериментально снятого графика, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только графические решения. В нашей задаче решение может быть получено следующим способом. На том же чертеже, на котором изображена характеристика нелинейного элемента I ⁼f(U_H) (рис. 1.71), строится зависимость тока от напряжения, определяемая уравнением (1.150). Это — уравнение первой степени, следовательно, искомая зависимость представляет собой прямую линию. Поэтому для построения графика достаточно найти две точки и провести через них прямую.

Для определения одной точки обычно задаются значением U_m =0 и определяют из выражения (1.150) соответствующий ток:

Координатам U_H1 и I₁ соответствует точка А (рис. 1.71). Для определения второй точки задаемся напряжением U_H2 = Е, где ток I₂ = 0. Этим координатам соответствует точка Б на рис. 1.71.

Проведя через точки А и Б прямую линию, находим точку пересечения с характеристикой нелинейного сопротивления. Координаты точки пересечения U_H и I являются решением линейной системы уравнений. Отметим, что хотя координаты точек А и Б задаются совершенно произвольно, для построения желательно, чтобы они были расположены как можно дальше друг от друга.

Рассмотрим расчет более сложных цепей. Если сложная цепь содержит только один элемент, то на основании теоремы об эквивалентном генераторе всю линейную часть схемы можно заменить эквивалентным генератором с ЭДС, равной напряжению между разомкнутыми зажимами, к которым присоединен нелинейный элемент, и внутренним сопротивлением, равным сопротивлению между точками разрыва при условии, что все источники цепи заменены их внутренними сопротивлениями. После применения теоремы об эквивалентном генераторе задача расчета сложной цепи с одним нелинейным элементом сводится к только что рассмотренному случаю.

Теорему об эквивалентном генераторе можно применить только в том случае, если характеристика нелинейного элемента проходит через начало координат, т. е. при U_H = 0, I = 0. Действительно, включим в ветвь с нелинейным сопротивлением две противоположно направленные ЭДС, величины которых равны напряжению между точками разрыва Е_Э (рис. 1.72). Представляя сложную схему узлов в виде суммы двух составляющих, замечаем, что в первой схеме ток равен нулю (при любом сопротивлении нелинейного элемента), так как U_H = 0. Во второй схеме ток будет таким же, как и в исходной, потому что напряжение на нелинейном элементе не изменилось. Следовательно, сопротивление элемента останется таким же, как и в исходной схеме.

Пример. Найти токи и напряжения в схеме транзисторного усилителя при отсутствии входного сигнала (рис. 1.73), если известно: Е_к = 10 В, R₁ = 10 кОм, R₂ = 3,3 Ом, R₃ = 100 0м С =0,1 мкФ, транзистор типа ГТ320А, вольтамперные характеристики которого изображены на рис. 1.74.

Решение. Для определения токов и напряжений в цепи базы левую (линейную) часть этой цепи заменим эквивалентным генератором, ЭДС которого

С учетом замены схема усилителя будет иметь вид, изображенный на рис. 1.75.

Для нахождения тока и напряжения в цепи базы на характеристике I_Б =f(и_БЭ) (рис. 1.74, б)

для чего зададимся U_БЭ1 = 0; тогда

Задаемся координатами второй точки |U_БЭ2| = 0,5 В, тогда

На характеристике, изображенной на рис. 1.74, б (которая дается в справочнике), приведены только две кривые, соответствующие Uкэ = 0 и Uкэ = 2,5 В. Рабочий диапазон заключен между кривой Uкэ = 0 и осью I_Б.

Ток базы в этом промежутке меняется мало (от 0,9 мА до 1 мА). В соответствии с этим на практике ток базы часто определяется не по характеристике, а по приближенной формуле:

В данном примере возьмем I_Б = 0,95. Цепь базы можно представить в виде схемы, изображенной на рис. 1.76. На основании второго закона Кирхгофа получим

|E_К.| = I₁R₁ + I₂R₂.

Применяя к узлу а первый закон Кирхгофа, будем иметь

I₁ = I₂+ I_Б.

Решая совместно два последних уравнения, получим:

I₁ = I₂ + I_Б = 0,04 + 0,95 = 0,99 мА. Напряжение на базе:

U_Б =I₂R₂= 0,04 • 3,3 = 0,132 В.

Напряжение на базе часто в инженерной практике не рассчитывают, считая его равным нескольким десятым вольта (U_Б < 0,5 В).

Для определения тока и напряжения в цепи коллектора построим на характеристике I_K =f(U_KЭ) (рис. 1.74, а) прямую линию, определяемую выражением

для чего задаемся напряжением одной точки U_KЭ1 = 0. Тогда

Затем задаемся током другой точки I_К = 0, тогда

|U_КЭ2| = |E_К| = 10 В. Проводя между этими точками прямую и определив точку пере­сечения с характеристикой, соответствующей I_Б = 0,95 мА, получим

I_K = 80мА, |U_КЭ| = 2,1 В

При расчете цепей постоянного тока реактивные элементы цепи не учитываются, это значит, что на схеме изображаются только резисторы, катушки индуктивности изображаются короко замкнутыми, а конденсаторы обозначаются обрывом в цнпи.

Дата добавления: 2015-06-29