Синтез. Совместное решение полученных уравнений

Анализ. Физическая сторона задачи

Английский учёный Роберт Гук опытным путём установил закон, носящий его имя: каково удлинение – такова сила. На основе этого закона выражаем абсолютные деформации стержней ∆ l_i через параметры, характеризующие работу стержня. Согласно формуле (2.4) получаем для первого стального стержня: – стержень удлинился (рис. 2.3); N ₁= R ₁(п. 2.3.3); l ₁ = 10642 мм (п. 2.3.2); E ₁ = 2∙10⁵ MПa (табл. 2.3); (п. 2.3.1); = 1,25∙10^–51/^oС (табл. 2.3); ∆ t ₁= 0^oС (п. 2.3.1). Аналогично выписываются параметры для других стержней.

После подстановки получаем следующие зависимости:

или, умножая на (–1), ∆ l ₃ = 0,17434 +5,75322.

Мы видим, что деформации стержней ∆ l_i зависят от соответствующих реакций R_i и общего (неизвестного) параметра площади А.

Подставляем полученные выше физические зависимости в уравнение совместности деформаций (2.10):

Упрощая и умножая почленно на 10 А, получаем уравнение

0,21790 R ₁ – 0,26824 R ₂ – 0,59631 R ₃ = 36,0617 A. (2.11)

Объединяем уравнения (2.8) и (2.11) в одну систему

Легко проверить, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение.

Представим неизвестные реакции в виде комбинации двух составляющих

где – зависит только от силы F; – зависит от неточности изготовления стержней δ и изменения температуры после сборки ∆ t.

Решим последовательно две системы уравнений:

Н; Н; Н.

МПа; МПа; МПа.

Складывая решения, получаем выражения для реакций

R ₁ = 446333 + 46,0431 А; R ₂ = –54650 – 54,2939 А; R ₃ = 187680 – 19,2267 А.

Рекомендуется проверить правильность решения путём обратной подстановки в исходную систему. В нашем случае

(1): 0,64283(446333 + 46,0431А) + 0,34202(–54650 – 54,2939 А) + + 0,57359(187680–19,2267А) = 375876+0,00004 А ≃ 375876;

(2):0,76602(446333 + 46,0431 А) + 0,93969(–54650 – 54,2939А) –

– 0,81915(187680 – 19,2267 А) = 136808+0,00005 А ≃ 136808;

(3): 0,21790(446333 + 46,0431 А) – 0,26824(–54650 – 54,2939 А) –

– 0,59631(187680 – 19,2267 А) = – 0,184 + 36,0617 А ≃ 36,0617 А.

Проверка показывает, что система уравнений решена правильно с весьма малыми погрешностями.

Дата добавления: 2015-06-30