Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Количественная оценка гетероскедастичности




При малом объеме выборки, что наиболее характерно для эконометрических исследований, для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда - Квандта, разработанный в 1965 г. Гольдфельд и Квандт рассмотрели однофакторную линейную модель, для которой дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности они предложили параметрический тест, который включает в себя следующие шаги:

1. Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной x;

2. Исключение из рассмотрения С центральных наблюдений; при этом (n - C): 2 > p, где p - число оцениваемых параметров;

3. Разделение совокупности из (n - C) наблюдений на две группы (соответственно, с малыми и с большими значениями фактора x) и определение по каждой из групп уравнений регрессии;

4. Определение остаточной суммы квадратов для первой (S1) и второй (S2) групп и нахождение их отношения: R = S1: S2.

При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять F -критерию с (n – C - 2p): 2 степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табличное значение F -критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин. Рассмотрим применение данного метода на следующем примере (см. табл.1.6).

Таблица 1.6

Поступление доходов в консолидированный бюджет Санкт-Петербурга (y - млрд. руб.) в зависимости от численности работающих на крупных и средних предприятиях и организациях (x - тыс. чел.) экономики районов за 1994 г7.

№ п/п Районы города xi yi ei
  Павловский   4,4 -1,0 5,4
  Кронштадт   8,1 2,5 5,6
  Ломоносовский   12,9 4,9 8,0
  Курортный   20,8 16,6 4,2
  Петродворец   15,5 19,0 -3,5
  Пушкинский   28,8 22,5 6,3
  Красносельский   37,5 41,4 -3,9
  Приморский   48,7 53,2 -4,5
  Колпинский   68,6 66,1 2,5
  Фрунзенский   104,6 83,6 22,0
  Красногвардейский   90,5 88,5 2,0
  Василеостровский   88,3 107,4 -19,1
  Невский   132,4 120,4 12,0
  Петроградский   122,0 127,4 -5,4
  Калининский   99,1 131,0 -31,9
  Выборгский   114,2 142,7 -28,5
  Кировский   150,6 151,0 -0,4
  Московский   156,1 171,0 -14,9
  Адмиралтейский   209,5 180,5 29,0
  Центральный   342,9 327,8 15,1
Итого:   1855,5 1855,5 0,0

В соответствии с уравнением (r = 0,9828, F = 510,7); найдены теоретические значения и отклонения от них фактических значений y, т.е. e. Не трудно видеть, что остаточные величины ei обнаруживают тенденцию к росту по мере увеличения x и y. (См. рис. 1.16).

 
 

Этот вывод подтверждается и по критерию Гольдфельда - Квандта. Для его применения необходимо определить сначала число исключаемых центральных наблюдений С. Из экспериментальных расчетов, проведенных авторами метода для случая одного фактора, рекомендовано при n = 30 принимать С = 8, а при n = 60, С = 16. В рассматриваемом примере при n = 20 было отобрано С = 4. Результаты расчетов представлены в табл. 1.7.

Таблица 1.7.

Проверка линейной регрессии на гетероскедастичность.

Уравнения регрессии x y e e2
1 – я группа с первыми 8 – ю районами:   4,4 5,7 -1,3 1,69
  8,1 8,5 -0,4 0,16
  12,9 10,3 2,6 6,76
  20,8 19,6 1,2 1,44
  15,5 21,4 -5,9 34,81
  28,8 24,2 4,6 21,16
  37,5 38,9 -1,4 1,96
  48,7 48,1 0,6 0,36
Сумма 68,34
2 – я группа с последними 8 – ю районами:   132,4 110,7 21,7 470,89
  122,0 118,7 3,3 10,899
  99,1 122,7 -23,6 556,96
  114,2 136,1 -21,9 479,61
  150,6 145,4 5,2 27,04
  156,1 168,2 -12,1 146,41
  209,5 178,9 30,6 936,36
  342,9 346,1 -3,2 10,24
Сумма 2638,40

Величина R = 2638,4: 68,34 = 19,3, что превышает табличное значение F -критерия 4,28 при 5%-ом и 8,47 при 1%-ом уровне значимости для числа степеней свободы 6 для каждой остаточной суммы квадратов ((20 4 2 * 2): 2), подтверждая тем самым наличие гетероскедастичности.

Тест Гольдфельда – Квандта используется аналогично и при проверке на гетерокседантичность остатков множественной регрессии.

Наличие гетерокседантичности в остатках регрессии можно проверить и с помощью теста ранговой корреляции Спирмэна. Суть теста заключается в том, что в случае гетерокседантичности абсолютные остатки коррелированы со значениями фактора . Для оценки этой корреляции используется ранговый коэффициент корреляции Спирмэна:

,

где d – абсолютная разность между рангами значений и .

Для нашего примера расчет рангового коэффициента корреляции Спирмэна составит: (см. табл. 1.8)

Таблица 1.8.

Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмэна для регрессии, представленной в табл. 3.7, т.е. между и .

№ п/п
    5,4 5,6 8,0 4,2 -3,5 6,3 -3,9 -4,5 2,5 22,0 2,0 -19,1 12,0 -5,4 -31,9 -28,5 -0,4 -14,9 29,0 15,1   8,5 8,5 7,5 5,5 56,25 30,25
Сумма           774,5

 

Далее рассчитывается t – критерий как , т.е. аналогично для линейного коэффициента корреляции. В нашем случае . Сравниваем эту величину с табличным при и числа степеней свободы (n -2)=18: . Принято считать, что, если , то корреляция и существует, т.е. имеет место гетероскедастичность остатков. В противном случае принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков. В нашем примере фактическое и табличное значения t достаточно близки друг к другу и вероятность наличия гетероскедастичности превышает 0,9.

Рассмотренные тесты не дают количественной оценки зависимости дисперсии ошибок регрессии от соответствующих значений факторов, включенных в регрессию. Они позволяют лишь определить наличие или отсутствие гетероскедантичности остатков. Поэтому, если гетероскедантичность остатков установлена, то можно количественно оценить зависимость дисперсии ошибок. С этой целью могут быть использованы тесты Уайта, Парка, Глейзера и другие.

Тест Уайта предполагает, что дисперсия ошибок регрессии представляет собой квадратичную функцию от значений факторов, т.е. при наличии одного фактора: . Или при наличии р факторов:

Так что модель включает в себя не только значения факторов, но и их квадраты, а также попарные произведения. Поскольку каждый параметр модели должен быть рассчитан на основании достаточного числа степеней свободы, то, чем меньше объём исследуемой совокупности, тем в меньшей мере квадратичная функция сможет содержать попарные произведения факторов. Так, если регрессия строится по тридцати наблюдениям как: , то последующая квадратичная функция для остатков может быть представлена лишь как: , поскольку на каждый параметр х может приходиться не менее 6-7 наблюдений. В настоящее время тест Уайта включён в стандартную программу регрессионного анализа в пакете «Econometric Views». О наличии или отсутствии гетероскедастичности остатков судят по величине F -критерия Фишера для квадратичной функции регрессии остатков. Если фактическое значение F -критерия выше табличного, то, следовательно, существует чёткое корреляционная связь дисперсии ошибок от значений факторов, включённых в регрессию, и, стало быть, имеет место гетероскедастичность остатков. В противном случае (F фактич< F таблич) делается вывод об отсутствии гетероскедастичности остатков регрессии.

Применительно к нашему примеру зависимость квадратов остатков оказалась следующей:

Значимость коэффициента при х весьма существенна (t табл=2,11), коэффициент при х 2 менее значим: вероятность ошибки 0,1034. Но в целом F -критерий 3,77 превышает с вероятностью 0,95 табличное значении 3,59. Следовательно, необходимо признать наличие гетероскедастичности остатков, исходя из теста Уайта. При этом количественно гетероскедастичность может быть представлена квадратичной функцией.

Тест Парка также относится к формализованным тестам тестам гетероскедастичности. Предполагается, что дисперсия остатков связана со значениями факторов функций: . Данная регрессия строится для каждого фактора в условиях многофакторной модели. Проверяется значимость коэффициента регрессии «b» по t -критерию Стьюдента. Если коэффициент регрессии для уравнения окажется статистически значимым, то, следовательно, существует зависимость от ln x, т.е. имеет место гетероскедастичность остатков. В нашем примере была обнаружена квадратичная функция от х, поэтому степенная зависимость от х вряд ли будет иметь место, что и подтвердили расчеты: при табличных значениях: 0,05 F 1,18=4,41 и 0,05 t 18=2,1, т.е. дисперсия остатков не представляет собой степенную функцию от значений фактора «х».

Если тесты Уайта и Парка оценивали гетероскедастичность, строя регрессию для квадрата остатков , то тест Глейзера основывается на регрессии абсолютных значений остатков , т.е. рассматривается функция Регрессия от хi строится при разных значениях параметра «с» и далее отбирается та функция, для которой коэффициент регрессии «b» оказывается наиболее значимым, т.е. имеет место наибольшее значение t- критерия Стьюдента или равносильно F- критерию Фишера и R 2. Для нашего примера тест Глейзера дал следующие результаты:

при с=1 tb =2,306;

при с=2 tb =1,58;

при с=3 tb =0,956;

при с=4 tb =0,675.

При этом «с» может принимать как дробные, так и отрицательные значения:

при с=-1 tb =1,26;

при с=0,5 tb =2,49;

при с=-0,5 tb =1,71.

Абсолютная величина остатков обнаруживает некоторую гетероскедастичность при с=1 и с=0,5, когда фактические значения tb превышает табличные 2,11.

При обнаружении гетероскедастичности остатков регрессии ставится цель её устранения, чему служит применение обобщённого метода наименьших квадратов (см. главу 4).

 


5 См. подробное изложение кусочно-линейных моделей "Статистическое моделирование и прогнозирование". Учебное пособие под ред. А. Г. Гранберга, М.: Финансы и статистика, 1990, с. 158.

6 Дж. Джонстон. Эконометрические методы. Пер. с англ. М.: Статистика, 1980, с. 207-241.

7 За строкой цифр. Санкт - Петербург. 1995, с.141, 155.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-30; Просмотров: 1393; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.035 сек.